Sederhanakan: 9^(3log2)+4^(2log3)-(5^(5log6))/(3^(3log2))

-955

Pembahasan

Untuk menyederhanakan ekspresi $9^{3\log_2} + 4^{2\log_3} - \frac{5^{5\log_6}}{3^{3\log_2}}$, kita perlu menerapkan sifat-sifat logaritma dan eksponen.

Pertama, mari kita sederhanakan setiap suku:

1. $9^{3\log_2}$: Menggunakan sifat $a^{m \log_a b} = b^m$, kita dapat menulis $9$ sebagai $3^2$. Jadi, $9^{3\log_2} = (3^2)^{3\log_2} = 3^{6\log_2} = 3^{\log_2 2^6} = 3^{\log_2 64}$. Ini tidak menyederhanakan lebih lanjut dengan mudah tanpa nilai logaritma.

Namun, jika kita mengasumsikan bahwa basis logaritma adalah 9, yaitu $9^{3\log_9 2}$, maka hasilnya adalah $2^3 = 8$.

Jika kita mengasumsikan bahwa basis logaritma adalah 3, yaitu $9^{3\log_3 2}$, maka hasilnya adalah $(3^2)^{3\log_3 2} = 3^{6\log_3 2} = 3^{\log_3 2^6} = 2^6 = 64$.

Jika kita mengasumsikan bahwa basis logaritma adalah 10 (logaritma umum), maka $9^{3\log 2} = 9^{\log 2^3} = 9^{\log 8}$.

Mari kita coba interpretasi lain dari soal. Jika soalnya adalah $9^{\log_3 2}$ atau sejenisnya, penyederhanaannya akan berbeda.

Asumsi yang paling mungkin untuk soal ini adalah menggunakan sifat $a^{\log_a x} = x$ dan $a^{m \log_a x} = x^m$. Jika basis logaritma tidak ditulis, biasanya diasumsikan basis 10 atau $e$. Namun, dalam konteks soal yang sering muncul, basis logaritma yang sama dengan basis eksponen lebih umum.

Mari kita coba interpretasi bahwa logaritma memiliki basis yang sesuai agar penyederhanaan bisa dilakukan:

Jika $9^{3\log_3 2}$: $(3^2)^{3\log_3 2} = 3^{6\log_3 2} = 3^{\log_3 2^6} = 2^6 = 64$.

Jika $4^{2\log_2 3}$: $(2^2)^{2\log_2 3} = 2^{4\log_2 3} = 2^{\log_2 3^4} = 3^4 = 81$.

Jika $\frac{5^{5\log_5 6}}{3^{3\log_3 2}}$: Maka $\frac{6^5}{2^3} = \frac{7776}{8} = 972$.

Jika ini adalah interpretasi yang benar, maka hasilnya adalah $64 + 81 - 972 = 145 - 972 = -827$.

Namun, soal ini tampaknya memiliki kesalahan penulisan atau asumsi basis logaritma yang tidak jelas. Jika kita mengasumsikan basis logaritma adalah 2 untuk suku pertama, basis 3 untuk suku kedua, basis 5 untuk suku ketiga, dan basis 3 untuk suku keempat:

$9^{3\log_2}$: Ini tidak dapat disederhanakan menjadi bilangan bulat tanpa nilai log 2.

Mari kita gunakan sifat $a^{m\log b} = (a^m)^{\log b}$ atau $a^{m\log b} = a^{\log b^m}$.

Suku 1: $9^{3\log 2} = 9^{\log 2^3} = 9^{\log 8}$.
Suku 2: $4^{2\log 3} = 4^{\log 3^2} = 4^{\log 9}$.
Suku 3: $5^{5\log 6} = 5^{\log 6^5} = 5^{\log 7776}$.
Suku 4: $3^{3\log 2} = 3^{\log 2^3} = 3^{\log 8}$.

Jika basis logaritma sama dengan basis eksponen:
$9^{3\log_9 2} = 2^3 = 8$
$4^{2\log_4 3} = 3^2 = 9$
$5^{5\log_5 6} = 6^5 = 7776$
$3^{3\log_3 2} = 2^3 = 8$

Maka, $8 + 9 - \frac{7776}{8} = 17 - 972 = -955$.

Karena soal tidak jelas mengenai basis logaritma, kita akan berasumsi bahwa basis logaritma adalah basis yang sama dengan bilangan pokok eksponen agar soal dapat diselesaikan.

Asumsi:
$9^{3\log_9 2} + 4^{2\log_4 3} - \frac{5^{5\log_5 6}}{3^{3\log_3 2}}$

Menggunakan sifat $a^{m\log_a b} = b^m$:
$9^{3\log_9 2} = 2^3 = 8$
$4^{2\log_4 3} = 3^2 = 9$
$5^{5\log_5 6} = 6^5 = 7776$
$3^{3\log_3 2} = 2^3 = 8$

Maka, ekspresi menjadi:
$8 + 9 - \frac{7776}{8}$
$= 17 - 972$
$= -955$

Jawaban ringkasnya adalah -955.