Sederhanakanlah bentuk berikut Cos 2 x+cos 6 x

-cot 2x

Pembahasan

Untuk menyederhanakan bentuk \(\frac{\cos 2x + \cos 6x}{ \sin 2x - \sin 6x}\), kita dapat menggunakan rumus penjumlahan dan pengurangan untuk fungsi trigonometri:

Rumus yang relevan:
1.  \(\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}\)
2.  \(\sin A - \sin B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}\)

Mari kita terapkan rumus ini pada pembilang dan penyebut:

Pembilang: \(\cos 2x + \cos 6x\)
Dengan A = 6x dan B = 2x (agar A > B, meskipun urutan tidak masalah karena cosinus bersifat genap):
\(\cos 6x + \cos 2x = 2 \cos \frac{6x+2x}{2} \cos \frac{6x-2x}{2}\]
\(= 2 \cos \frac{8x}{2} \cos \frac{4x}{2}\]
\(= 2 \cos 4x \cos 2x\)

Penyebut: \(\sin 2x - \sin 6x\)
Dengan A = 2x dan B = 6x:
\(\sin 2x - \sin 6x = 2 \cos \frac{2x+6x}{2} \sin \frac{2x-6x}{2}\]
\(= 2 \cos \frac{8x}{2} \sin \frac{-4x}{2}\]
\(= 2 \cos 4x \sin (-2x)\)

Karena \(\sin(-\theta) = -\sin \theta\), maka \(\sin(-2x) = -\sin 2x\).
Jadi, penyebutnya menjadi \(2 \cos 4x (-\sin 2x) = -2 \cos 4x \sin 2x\).

Sekarang, kita gabungkan kembali pembilang dan penyebut:
\[
\frac{\cos 2x + \cos 6x}{\sin 2x - \sin 6x} = \frac{2 \cos 4x \cos 2x}{-2 \cos 4x \sin 2x}\]

Kita bisa membatalkan \(2 \cos 4x\) dari pembilang dan penyebut (dengan asumsi \(\cos 4x \neq 0\)):
\[
= \frac{\cos 2x}{-\sin 2x}\]

Kita tahu bahwa \(\frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \cot \theta\). Maka:
\[
= -\cot 2x\]

Jadi, bentuk yang disederhanakan adalah -cot 2x.