Sederhanakanlah bentuk persamaan berikut! -akar(3) cos

$\cos(x+150^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Pembahasan

Untuk menyederhanakan persamaan $-\sqrt{3} \cos x - \sin x = \sqrt{2}$, kita bisa menggunakan metode mengubah bentuk persamaan trigonometri menjadi bentuk R cos(x + \alpha) atau R sin(x + \alpha).
Bentuk umum persamaan $a \cos x + b \sin x = c$ dapat diubah menjadi $R \cos(x - \alpha) = c$, di mana $R = \sqrt{a^2 + b^2}$, $\cos \alpha = a/R$, dan $\sin \alpha = b/R$.
Dalam kasus ini, kita punya $- \sqrt{3} \cos x - 1 \sin x = \sqrt{2}$. Jadi, $a = -\sqrt{3}$ dan $b = -1$.
$R = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.
Untuk mencari \alpha:
$\cos \alpha = a/R = -\sqrt{3}/2$
$\sin \alpha = b/R = -1/2$
Sudut \alpha yang memenuhi kedua kondisi ini adalah di kuadran ketiga, yaitu $210^{\circ}$ atau $7\pi/6$ radian.
Maka, persamaan menjadi $2 \cos(x - 210^{\circ}) = \sqrt{2}$.
$\cos(x - 210^{\circ}) = \sqrt{2}/2$.
Nilai kosinus adalah $\sqrt{2}/2$ pada $45^{\circ}$ dan $315^{\circ}$.
Maka, $x - 210^{\circ} = 45^{\circ} + 360^{\circ}k$ atau $x - 210^{\circ} = 315^{\circ} + 360^{\circ}k$, di mana k adalah bilangan bulat.
Kasus 1: $x - 210^{\circ} = 45^{\circ} + 360^{\circ}k$
$x = 255^{\circ} + 360^{\circ}k$
Kasus 2: $x - 210^{\circ} = 315^{\circ} + 360^{\circ}k$
$x = 525^{\circ} + 360^{\circ}k$. Karena $525^{\circ} = 165^{\circ} + 360^{\circ}$, maka $x = 165^{\circ} + 360^{\circ}k$.
Jadi, bentuk sederhana dari persamaan tersebut adalah $2 \cos(x - 210^{\circ}) = \sqrt{2}$ atau $2 \cos(x + 210^{\circ}) = \sqrt{2}$ jika kita menggunakan $R \cos(x+\alpha)$ dengan $\cos\alpha = -\sqrt{3}/2$ dan $\sin\alpha = -1/2$. Namun, biasanya disederhanakan ke bentuk $R \cos(x-\alpha)$ atau $R \sin(x+\alpha)$.
Jika kita ubah ke bentuk $R \sin(x + \alpha)$: $a \cos x + b \sin x = R \sin(x+\alpha)$ dengan $R = \sqrt{a^2 + b^2}$, $\sin \alpha = a/R$, $\cos \alpha = b/R$. $a=- \sqrt{3}, b=-1$. $R=2$. $\sin \alpha = -\sqrt{3}/2$, $\cos \alpha = -1/2$. $\alpha = 240^{\circ}$. $2 \sin(x+240^{\circ}) = \sqrt{2}$. $\sin(x+240^{\circ}) = \sqrt{2}/2$. $x+240^{\circ} = 45^{\circ}+360k$ atau $x+240^{\circ} = 135^{\circ}+360k$. $x = -195^{\circ}+360k = 165^{\circ}+360k$ atau $x = -105^{\circ}+360k = 255^{\circ}+360k$ .
Dalam konteks menyederhanakan bentuk persamaan, biasanya yang dimaksud adalah mengubahnya ke bentuk $R 	ext{trigonometri}(x 	ext{ operator } 	heta)$. Salah satu bentuk sederhananya adalah $2	ext{cos}(x+210^	ext{o})=	ext{akar}(2)$ atau $2	ext{sin}(x+330^	ext{o})=	ext{akar}(2)$ atau $2	ext{cos}(x-30^	ext{o})=-	ext{akar}(2)$ (dengan mengubah persamaan asli menjadi $	ext{akar}(3) 	ext{cos}(x+30) + 	ext{sin}(x+30) = -	ext{akar}(2)$).
Jika kita hanya diminta menyederhanakan tanpa menyelesaikan, bisa juga dinyatakan sebagai bentuk $R	ext{cos}(x+\alpha)$. Dengan mengalikan seluruh persamaan dengan $1/2$, kita mendapatkan $-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x - \frac{1}{2}\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Ini sesuai dengan bentuk $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$. Jika kita ambil $A=x$, maka $\cos B = -\sqrt{3}/2$ dan $\sin B = 1/2$. Nilai $B$ yang memenuhi adalah $150^{\circ}$. Jadi, $\cos(x+150^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.