Segi empat ABCD berikut siku-siku di A dan C,

p cos(beta) / sin(alpha)

Pembahasan

Diketahui segi empat ABCD siku-siku di A dan C. Sudut ABD = alpha dan sudut CBD = beta. AD = p. Kita perlu mencari panjang BC.

Dalam segitiga siku-siku ABD, kita memiliki:
tan(alpha) = AD / AB = p / AB
Maka, AB = p / tan(alpha)

Dalam segitiga siku-siku BCD, kita memiliki:
tan(beta) = CD / BC

Kita perlu mencari hubungan antara sisi-sisi yang diketahui dan yang dicari. Perhatikan segitiga ABC yang siku-siku di A. Kita memiliki:
tan(sudut ACB) = AB / BC

Kita juga tahu bahwa sudut ACB = 90 - sudut BAC. Namun, ini tidak secara langsung membantu.

Mari kita gunakan sudut pada titik B. Sudut ABC = sudut ABD + sudut CBD = alpha + beta.

Dalam segitiga siku-siku ABC:
tan(ABC) = AC / AB
tan(alpha + beta) = AC / AB

Ini juga tidak langsung membantu karena kita tidak tahu AC.

Mari kita kembali ke segitiga siku-siku BCD. Kita perlu mencari CD atau hubungan lain.

Perhatikan segitiga siku-siku ABC. Kita tahu AB = p / tan(alpha).

Dalam segitiga siku-siku ADC, kita memiliki:
tan(sudut ACD) = AD / CD = p / CD

Kita tahu sudut ACD + sudut BCD = 90 derajat.

Ini adalah soal geometri yang memerlukan penerapan identitas trigonometri dan sifat-sifat segitiga siku-siku. Tanpa informasi tambahan atau diagram yang jelas, sulit untuk memberikan solusi pasti. Namun, jika kita mengasumsikan bahwa ABCD adalah persegi panjang (meskipun hanya disebutkan siku-siku di A dan C), maka AD = BC, tetapi ini tidak sesuai dengan informasi sudut.

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mengekspresikan CD dalam bentuk yang diketahui atau mencari hubungan antara sudut-sudut dan sisi-sisi.

Menggunakan aturan sinus atau kosinus mungkin diperlukan jika kita memecah segi empat menjadi segitiga.

Namun, mari kita coba pendekatan lain. Dalam segitiga siku-siku ABD:
AB = p / tan(alpha)

Dalam segitiga siku-siku BCD:
CD = BC * tan(beta)

Dalam segitiga siku-siku ABC:
AC^2 = AB^2 + BC^2

Dalam segitiga siku-siku ADC:
AC^2 = AD^2 + CD^2 = p^2 + (BC * tan(beta))^2

Jadi, AB^2 + BC^2 = p^2 + BC^2 * tan^2(beta)
(p / tan(alpha))^2 + BC^2 = p^2 + BC^2 * tan^2(beta)
p^2 / tan^2(alpha) + BC^2 = p^2 + BC^2 * tan^2(beta)
BC^2 - BC^2 * tan^2(beta) = p^2 - p^2 / tan^2(alpha)
BC^2 (1 - tan^2(beta)) = p^2 (1 - 1 / tan^2(alpha))
BC^2 (1 - tan^2(beta)) = p^2 ( (tan^2(alpha) - 1) / tan^2(alpha) )
BC^2 = p^2 * (tan^2(alpha) - 1) / (tan^2(alpha) * (1 - tan^2(beta)))

Ini terlihat rumit dan mungkin ada kesalahan dalam penafsiran soal atau ada identitas yang lebih sederhana.

Mari kita coba gunakan identitas tan(A-B) yang relevan jika ada.

Kita perlu mencari BC. Jika kita bisa mengekspresikan CD dalam kaitannya dengan BC dan beta, dan juga AB dalam kaitannya dengan AD dan alpha.

Dalam segitiga ABD, sin(alpha) = AD/BD = p/BD => BD = p/sin(alpha).
Dalam segitiga BCD, sin(beta) = CD/BD => CD = BD * sin(beta) = (p/sin(alpha)) * sin(beta) = p * sin(beta) / sin(alpha).

Dalam segitiga BCD, cos(beta) = BC/BD => BC = BD * cos(beta) = (p/sin(alpha)) * cos(beta) = p * cos(beta) / sin(alpha).

Mari kita periksa apakah ini konsisten. Jika BC = p * cos(beta) / sin(alpha), maka:
Dalam segitiga ABC (siku-siku di A):
AB = p / tan(alpha) = p * cos(alpha) / sin(alpha).

Sekarang, mari kita lihat segitiga ADC (siku-siku di C).
AD = p. CD = p * sin(beta) / sin(alpha).
AC^2 = AD^2 + CD^2 = p^2 + (p * sin(beta) / sin(alpha))^2 = p^2 * (1 + sin^2(beta) / sin^2(alpha))

Dan dalam segitiga ABC (siku-siku di A):
AC^2 = BC^2 - AB^2 (Ini salah, harusnya AC^2 = BC^2 - AB^2 jika C adalah sudut lancip, tetapi AC adalah sisi tegak) -> AC^2 = BC^2 + AB^2 (Ini juga salah karena C adalah siku-siku, jadi B adalah sudut lancip)

Dalam segitiga siku-siku ABC, sisi miringnya adalah AC jika siku-siku di B. Tapi siku-siku di A.

Perhatikan lagi segitiga ABC siku-siku di A.
Sudut ABC = alpha + beta.
Sisi AB dan BC adalah sisi tegak, AC adalah sisi miring.

Perhatikan segitiga BCD siku-siku di C.
Sudut CBD = beta. Sisi BC dan CD adalah sisi tegak, BD adalah sisi miring.

Dari segitiga BCD:
BC = BD cos(beta)
CD = BD sin(beta)

Dari segitiga ABD:
AD = BD sin(alpha) (Ini salah, sudut alpha adalah sudut ABD, sisi AD berhadapan dengan sudut ABD)

Mari kita gambar ulang situasinya:

A ____ B
|     /
|    / 
|   /  
|  /   
D ---- C

Segiempat ABCD siku-siku di A dan C.
Ini berarti sudut DAB = 90 derajat dan sudut BCD = 90 derajat.

Ini adalah sebuah trapesium siku-siku jika AD sejajar BC, atau jika AB sejajar DC.

Sudut ABD = alpha.
Sudut CBD = beta.
AD = p.
Kita mencari BC.

Dalam segitiga ABD (siku-siku di A):
Tan(alpha) = AD / AB = p / AB => AB = p / tan(alpha) = p cot(alpha).

Dalam segitiga BCD (siku-siku di C):
Tan(beta) = CD / BC.
Kita tidak tahu CD.

Perhatikan sudut ABC = sudut ABD + sudut CBD = alpha + beta.

Dalam segitiga ABC siku-siku di A:
Tan(ABC) = AC / AB
Tan(alpha + beta) = AC / (p cot(alpha))
AC = p cot(alpha) tan(alpha + beta)

Ini belum membantu.

Mari kita gunakan hubungan antara sisi-sisi.
Dari segitiga BCD:
BC = CD / tan(beta) = CD cot(beta).

Kita perlu menghubungkan CD dengan sisi yang diketahui.

Perhatikan bahwa sudut BCD = 90 derajat.
Kita tahu sudut CBD = beta. Maka sudut BDC = 90 - beta.

Dalam segitiga ABD, sudut DAB = 90 derajat. Sudut ABD = alpha. Maka sudut ADB = 90 - alpha.

Perhatikan bahwa sudut ADC = sudut ADB + sudut BDC = (90 - alpha) + (90 - beta) = 180 - alpha - beta.

Ini akan menjadi berguna jika kita menggunakan aturan sinus pada segitiga ADC, tetapi kita tidak tahu AC atau DC.

Kembali ke segitiga BCD:
Kita punya BC dan CD. Kita tahu sudut beta.

Mari kita coba gunakan informasi bahwa ABCD adalah segiempat dengan sudut 90 derajat di A dan C.

Jika kita proyeksikan BD ke sumbu x dan y, atau gunakan vektor, ini bisa menjadi lebih mudah.

Atau, kita bisa coba menggambar garis tegak lurus dari D ke BC, atau dari B ke DC.

Mari kita gunakan identitas tan(A+B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B).

Dalam segitiga ABC siku-siku di A:
Tan(ABC) = AC/AB
Tan(alpha + beta) = AC / (p cot alpha)
AC = p cot alpha tan(alpha + beta)

Sekarang, mari kita lihat segitiga ADC siku-siku di C:
Tan(DAC) = CD / AD = CD / p.
AC^2 = AD^2 + CD^2 = p^2 + CD^2.

Jadi, (p cot alpha tan(alpha + beta))^2 = p^2 + CD^2
CD^2 = p^2 cot^2(alpha) tan^2(alpha + beta) - p^2
CD^2 = p^2 [cot^2(alpha) tan^2(alpha + beta) - 1]

Dan kita tahu BC = CD cot(beta).
BC^2 = CD^2 cot^2(beta)
BC^2 = p^2 [cot^2(alpha) tan^2(alpha + beta) - 1] cot^2(beta)

Ini masih sangat rumit.

Mari kita coba pendekatan lain.

Kita tahu AB = p cot(alpha).
Dalam segitiga BCD, kita punya sudut beta.

Jika kita perhatikan sudut ABC = alpha + beta.

Kita bisa mencoba menggunakan teorema proyeksi.
Dalam segitiga ABD, proyeksi AB pada BD adalah AB cos(alpha).
Dalam segitiga BCD, proyeksi BC pada BD adalah BC cos(beta).

Ini tidak membantu secara langsung.

Mari kita gunakan koordinat.
Misalkan A = (0, 0).
Karena siku-siku di A, kita bisa letakkan D pada sumbu y dan B pada sumbu x.

D = (0, p)
B = (x_B, 0)

AB = x_B.
Dari segitiga ABD siku-siku di A:
Tan(alpha) = AD / AB = p / x_B => x_B = p / tan(alpha) = p cot(alpha).

Jadi, B = (p cot(alpha), 0).

Sekarang, C harus berada sedemikian rupa sehingga sudut BCD = 90 derajat.
Misalkan C = (x_C, y_C).

Kvector BC = (x_C - p cot(alpha), y_C).
Kvector CD = (-p cot(alpha), y_C).

Karena sudut BCD = 90, maka dot product BC . CD = 0.
(x_C - p cot(alpha))(-p cot(alpha)) + y_C * y_C = 0
-x_C p cot(alpha) + p^2 cot^2(alpha) + y_C^2 = 0
y_C^2 = x_C p cot(alpha) - p^2 cot^2(alpha)

Kita juga tahu sudut CBD = beta.
Sudut yang dibentuk oleh vektor CB dan CD adalah beta.

Kvector CB = (p cot(alpha) - x_C, -y_C).
Kvector CD = (-p cot(alpha), y_C).

cos(beta) = (CB . CD) / (|CB| * |CD|)

Ini menjadi sangat rumit dengan koordinat.

Mari kita kembali ke trigonometri.

Kita punya AB = p cot(alpha).
Kita punya BC.
Dalam segitiga ABC siku-siku di A:
AC^2 = AB^2 + BC^2 = (p cot(alpha))^2 + BC^2.

Dalam segitiga ADC siku-siku di C:
AC^2 = AD^2 + CD^2 = p^2 + CD^2.

Jadi, p^2 cot^2(alpha) + BC^2 = p^2 + CD^2.

Dalam segitiga BCD siku-siku di C:
CD = BC tan(beta).

Substitusikan CD:
p^2 cot^2(alpha) + BC^2 = p^2 + (BC tan(beta))^2
p^2 cot^2(alpha) + BC^2 = p^2 + BC^2 tan^2(beta)
BC^2 - BC^2 tan^2(beta) = p^2 - p^2 cot^2(alpha)
BC^2 (1 - tan^2(beta)) = p^2 (1 - cot^2(alpha))
BC^2 = p^2 (1 - cot^2(alpha)) / (1 - tan^2(beta))

Ini juga tidak terlihat benar.

Mari kita periksa identitas tangen jumlah sudut:
tan(alpha + beta) = (tan alpha + tan beta) / (1 - tan alpha tan beta).

Perhatikan sudut ABC = alpha + beta.

Dalam segitiga ABC siku-siku di A:
AB = p cot(alpha).
BC = ?

Dalam segitiga BCD siku-siku di C:
BC = ?
CD = BC tan(beta).

Mari kita gunakan identitas tan(90 - x) = cot(x).

Dalam segitiga ABD, sudut ADB = 90 - alpha.
Dalam segitiga BCD, sudut BDC = 90 - beta.

Perhatikan garis BD.

Jika kita gunakan teorema proyeksi pada segitiga ABC siku-siku di A:
AB = AC cos(BAC)
BC = AC sin(BAC)

Ini juga tidak membantu.

Mari kita coba bentuk lain dari jawaban yang mungkin.

Jika kita perhatikan soal serupa, seringkali melibatkan ekspresi seperti p tan(alpha) atau p cot(alpha).

Mari kita kembali ke:
AB = p cot(alpha).

Dalam segitiga BCD, kita memiliki sudut beta.
Jika kita bisa mengekspresikan BC dalam kaitannya dengan BD dan beta.
BC = BD cos(beta).

Dari segitiga ABD, BD = AD / sin(alpha) = p / sin(alpha).

Jadi, BC = (p / sin(alpha)) * cos(beta) = p cos(beta) / sin(alpha) = p cot(alpha) sin(beta) / cos(alpha) * cos(beta) / sin(alpha) = p cot(alpha) / tan(alpha) * cos(beta) / sin(alpha)?

Tidak.
BC = p * cos(beta) / sin(alpha).

Mari kita periksa apakah ini masuk akal.
Jika alpha = 45, beta = 45, AD = p.
AB = p cot(45) = p.
BC = p cos(45) / sin(45) = p * (√2/2) / (√2/2) = p.
Jika AB = p dan BC = p, dan segitiga ABC siku-siku di A, maka AC = sqrt(p^2 + p^2) = p√2.
Dalam segitiga BCD siku-siku di C, jika BC = p, maka tan(beta) = CD / p. Jika beta = 45, CD = p.
AC^2 = AD^2 + CD^2 = p^2 + p^2 = 2p^2.
AC = p√2.
Ini konsisten.

Jadi, jawabannya adalah BC = p cos(beta) / sin(alpha).
Atau bisa ditulis sebagai p cot(alpha) sin(beta) / cos(alpha) * cos(beta) / sin(alpha)?

p cos(beta) / sin(alpha) = p * (1/tan(alpha)) * cos(beta) / sin(alpha) = p cot(alpha) * cos(beta) / sin(alpha).

Ya, BC = p cot(alpha) cos(beta) / sin(alpha).

Mari kita coba ekspresikan dalam bentuk lain.
Jika kita gunakan identitas cos(beta)/sin(alpha) = cos(beta)csc(alpha).
BC = p cot(alpha) csc(beta) sin(alpha) cos(beta) / sin(alpha) = p cot(alpha) cot(beta) sin(beta) cos(beta) / sin(alpha)?

Mari kita kembali ke BC = p cos(beta) / sin(alpha).

Jika kita gunakan identitas tan(A-B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A tan B).

Perhatikan segitiga ABC siku-siku di A.
Sudut ABC = alpha + beta.
Tan(alpha + beta) = AC / AB = AC / (p cot alpha).
AC = p cot alpha tan(alpha + beta).

Perhatikan segitiga ADC siku-siku di C.
AD = p.
CD = AD tan(DAC) = p tan(DAC).
AC^2 = p^2 + CD^2 = p^2 + p^2 tan^2(DAC).

Jadi, p^2 cot^2(alpha) tan^2(alpha + beta) = p^2 + p^2 tan^2(DAC).
cot^2(alpha) tan^2(alpha + beta) = 1 + tan^2(DAC).

Ini masih belum mengarah ke BC secara langsung.

Mari kita gunakan sudut pada titik D.
Sudut ADB = 90 - alpha.
Sudut BDC = 90 - beta.

Dalam segitiga ABD:
AD = AB tan(alpha) => AB = AD / tan(alpha) = p cot(alpha).
BD = AD / cos(alpha) = p / cos(alpha).

Dalam segitiga BCD:
BC = BD cos(beta) = (p / cos(alpha)) * cos(beta) = p cos(beta) / cos(alpha).
CD = BD sin(beta) = (p / cos(alpha)) * sin(beta) = p sin(beta) / cos(alpha) = p tan(beta) sec(alpha).

Mari kita periksa konsistensi dengan segitiga ABC siku-siku di A.
AB = p cot(alpha).
BC = p cos(beta) / cos(alpha).

Sudut ABC = alpha + beta.
Tan(ABC) = AC / AB.

AC^2 = AB^2 + BC^2 = (p cot(alpha))^2 + (p cos(beta) / cos(alpha))^2
AC^2 = p^2 cot^2(alpha) + p^2 cos^2(beta) / cos^2(alpha)
AC^2 = p^2 [cos^2(alpha)/sin^2(alpha) + cos^2(beta)/cos^2(alpha)]
AC^2 = p^2/sin^2(alpha) * [cos^2(alpha) + sin^2(alpha) cos^2(beta) / cos^2(alpha)]

Ini rumit.

Kembali ke BC = p cos(beta) / sin(alpha).
Ini adalah jawaban yang paling mungkin dari analisis awal.

Mari kita pastikan lagi.
Dalam segitiga ABD, siku-siku di A, sudut ABD = alpha, AD = p.
Sin(alpha) = AD / BD = p / BD => BD = p / sin(alpha).

Dalam segitiga BCD, siku-siku di C, sudut CBD = beta.
Cos(beta) = BC / BD => BC = BD cos(beta).

Substitusikan BD:
BC = (p / sin(alpha)) * cos(beta) = p cos(beta) / sin(alpha).

Ini konsisten dengan definisi sinus dan kosinus dalam segitiga siku-siku.

Jadi, panjang BC = p cos(beta) / sin(alpha).
Ini juga bisa ditulis sebagai p cot(alpha) sin(beta) / cos(alpha) * cos(beta) / sin(alpha)?

Tidak.
p cos(beta) / sin(alpha) = p * cot(alpha) * sin(alpha) * cos(beta) / sin(alpha) = p cot(alpha) sin(beta) * cos(beta) / cos(alpha) ?

Tidak.

Jawaban yang benar adalah p cos(beta) / sin(alpha).
Ini dapat diekspresikan sebagai p cot(alpha) sin(beta) / cos(alpha) * cos(beta) / sin(alpha)?

Tidak.
p cos(beta) / sin(alpha).

Jika kita ingin mengekspresikan dalam cot dan sin:
p cos(beta) / sin(alpha) = p * (cos(beta) / sin(alpha)).
Kita tahu cot(alpha) = cos(alpha) / sin(alpha).
Kita tahu sin(beta) = CD / BD.

Jawaban yang paling sederhana adalah p cos(beta) / sin(alpha).

Bagaimana jika kita ubah ke bentuk tan?
BC = p * cos(beta) / sin(alpha) = p * (1/tan(alpha)) * cos(beta) / sin(alpha) * cos(alpha) / cos(alpha) = p cot(alpha) * cos(beta) / sin(alpha).

BC = p * cos(beta) / sin(alpha).
Kita bisa tulis cos(beta) = sin(90-beta).
BC = p sin(90-beta) / sin(alpha).

Atau, kita bisa tulis 1/sin(alpha) = csc(alpha).
BC = p csc(alpha) cos(beta).

Semua ini adalah bentuk yang ekuivalen.

Mari kita lihat jika ada hubungan dengan tan(alpha-beta).

Tan(alpha - beta) = (tan alpha - tan beta) / (1 + tan alpha tan beta).

Jika kita melihat kembali soal asli, tidak ada pilihan jawaban yang diberikan. Jadi, kita perlu memberikan jawaban dalam bentuk yang paling sederhana.

BC = p cos(beta) / sin(alpha).