Segitiga ABC, diketahui: a+b=2c buktikan (dc)^2=(3/4)a.b

Terbukti

Pembahasan

Untuk membuktikan $(dc)^2 = (3/4)ab$ pada segitiga ABC dengan $a+b=2c$ dan $dc$ sebagai garis bagi dalam sudut C, kita akan menggunakan teorema garis bagi dan identitas trigonometri.

**Langkah 1: Gunakan Teorema Garis Bagi**
Teorema garis bagi menyatakan bahwa untuk garis bagi $dc$ dari sudut C, berlaku:
$rac{ad}{db} = rac{b}{a}$

Kita juga tahu bahwa $ad + db = c$ (panjang sisi AB).
Dari $rac{ad}{db} = rac{b}{a}$, kita dapatkan $ad = rac{b}{a} db$.
Substitusikan ke $ad + db = c$:
$rac{b}{a} db + db = c$
$db(rac{b}{a} + 1) = c$
$db(rac{b+a}{a}) = c$
$db = rac{ac}{a+b}$

Selanjutnya, cari $ad$:
$ad = c - db = c - rac{ac}{a+b} = rac{c(a+b) - ac}{a+b} = rac{ac + bc - ac}{a+b} = rac{bc}{a+b}$

**Langkah 2: Gunakan Rumus Panjang Garis Bagi Dalam**
Panjang garis bagi dalam $dc$ (kita sebut $l_c$) dirumuskan sebagai:
$l_c^2 = ab - ad 	imes db$
$(dc)^2 = ab - (rac{bc}{a+b})(rac{ac}{a+b})$
$(dc)^2 = ab - rac{abc^2}{(a+b)^2}$
$(dc)^2 = rac{ab(a+b)^2 - abc^2}{(a+b)^2}$
$(dc)^2 = rac{ab(a^2 + 2ab + b^2) - abc^2}{(a+b)^2}$
$(dc)^2 = rac{a^3b + 2a^2b^2 + ab^3 - abc^2}{(a+b)^2}$

**Langkah 3: Gunakan Informasi $a+b=2c$**
Dari $a+b=2c$, kita dapatkan $c = rac{a+b}{2}$.
Substitusikan $c$ ke dalam persamaan $(dc)^2$:
$(dc)^2 = ab - ad 	imes db$
$(dc)^2 = ab - (rac{bc}{a+b})(rac{ac}{a+b})$
$(dc)^2 = ab - rac{a b c^2}{(a+b)^2}$
Ganti $c = rac{a+b}{2}$:
$(dc)^2 = ab - rac{ab (rac{a+b}{2})^2}{(a+b)^2}$
$(dc)^2 = ab - rac{ab rac{(a+b)^2}{4}}{(a+b)^2}$
$(dc)^2 = ab - rac{ab}{4}$
$(dc)^2 = rac{4ab - ab}{4}$
$(dc)^2 = rac{3ab}{4}$
$(dc)^2 = rac{3}{4}ab$

Ini membuktikan bahwa $(dc)^2 = (3/4)ab$ dengan syarat $a+b=2c$.

Jawaban Ringkas: Terbukti