Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 11Kelas 12mathKalkulus

Selembar karton berbentuk persegi panjang; dengan ukuran

Pertanyaan

Selembar karton berbentuk persegi panjang dengan ukuran panjang 48 cm dan lebar 24 cm akan dibuat kotak tanpa tutup dengan memotong persegi kecil berukuran sisi x cm di setiap pojoknya. Tentukan: a. rumus volume kotak dalam x, dan b. nilai x agar volume maksimum.

Solusi

Verified

a. V(x) = 4x^3 - 144x^2 + 1152x; b. x = 12 - 4√3 cm

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menentukan rumus volume kotak tanpa tutup dan nilai x yang menghasilkan volume maksimum. a. Rumus Volume Kotak: Misalkan ukuran sisi persegi kecil yang dipotong di setiap pojok adalah x cm. Panjang karton = 48 cm, Lebar karton = 24 cm. Setelah dipotong persegi di setiap pojok, ukuran panjang alas kotak menjadi (48 - 2x) cm. Ukuran lebar alas kotak menjadi (24 - 2x) cm. Tinggi kotak sama dengan sisi persegi yang dipotong, yaitu x cm. Rumus volume kotak (V) adalah: V = panjang alas × lebar alas × tinggi V(x) = (48 - 2x)(24 - 2x)(x) V(x) = (1152 - 96x - 48x + 4x^2)(x) V(x) = (4x^2 - 144x + 1152)(x) V(x) = 4x^3 - 144x^2 + 1152x b. Nilai x agar Volume Maksimum: Untuk mencari nilai x agar volume maksimum, kita perlu mencari turunan pertama dari V(x) terhadap x dan menyamakannya dengan nol. V'(x) = d/dx (4x^3 - 144x^2 + 1152x) V'(x) = 12x^2 - 288x + 1152 Samakan V'(x) dengan 0: 12x^2 - 288x + 1152 = 0 Bagi kedua sisi dengan 12: x^2 - 24x + 96 = 0 Gunakan rumus kuadrat untuk mencari x: x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a x = [24 ± sqrt((-24)^2 - 4(1)(96))] / 2(1) x = [24 ± sqrt(576 - 384)] / 2 x = [24 ± sqrt(192)] / 2 x = [24 ± 8*sqrt(3)] / 2 x = 12 ± 4*sqrt(3) Kita perlu memeriksa turunan kedua untuk menentukan apakah nilai x ini menghasilkan maksimum atau minimum. Turunan kedua V''(x) adalah: V''(x) = 24x - 288 Untuk x = 12 + 4*sqrt(3) (sekitar 18.93), V''(x) akan positif, yang berarti minimum. Untuk x = 12 - 4*sqrt(3) (sekitar 5.07), V''(x) akan negatif, yang berarti maksimum. Selain itu, kita harus mempertimbangkan batasan fisik. Sisi x tidak boleh lebih besar dari setengah lebar karton, yaitu x < 24/2 = 12. Nilai x = 12 + 4*sqrt(3) tidak memenuhi batasan ini. Jadi, nilai x agar volume maksimum adalah x = 12 - 4*sqrt(3) cm.

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Aplikasi Turunan
Section: Maksimum Dan Minimum Fungsi

Apakah jawaban ini membantu?