Selesaikan bentuk limit berikut ini! Jika lim x -> 4

-1

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita perlu memastikan bahwa limit tersebut ada dan bernilai 3/4. Ketika x mendekati 4, penyebut (x-4) mendekati 0. Agar limitnya ada dan bukan tak hingga, pembilang (ax + b - √x) juga harus mendekati 0 ketika x mendekati 4. Ini disebut Aturan L'Hôpital atau sifat substitusi pada limit.

Substitusikan x = 4 ke dalam pembilang:
a(4) + b - √4 = 0
4a + b - 2 = 0
4a + b = 2  (Persamaan 1)

Karena limitnya dalam bentuk tak tentu 0/0, kita dapat menggunakan Aturan L'Hôpital. Turunkan pembilang dan penyebut terhadap x:
Turunan pembilang (d/dx)(ax + b - √x) = a - (1/2)x^(-1/2) = a - 1/(2√x)
Turunan penyebut (d/dx)(x - 4) = 1

Sekarang, terapkan limit pada turunan tersebut:
lim x→4 [a - 1/(2√x)] / 1 = 3/4

Substitusikan x = 4 ke dalam ekspresi turunan:
a - 1/(2√4) = 3/4
a - 1/(2*2) = 3/4
a - 1/4 = 3/4
a = 3/4 + 1/4
a = 4/4
a = 1

Sekarang kita punya nilai a, kita bisa substitusikan kembali ke Persamaan 1 untuk mencari nilai b:
4a + b = 2
4(1) + b = 2
4 + b = 2
b = 2 - 4
b = -2

Terakhir, kita hitung nilai a + b:
a + b = 1 + (-2) = -1