Selesaikanlah. lim theta mendekati 0 (sin 8theta(1 + cos

Nilai limitnya adalah 1, diperoleh dengan menggunakan sifat-sifat limit trigonometri dan substitusi nilai.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin 8\theta(1 + \cos \theta)}{\tan 4\theta(1 + 3 \sec \theta)}$, kita akan menggunakan sifat-sifat limit trigonometri.

Kita tahu bahwa $\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{bx} = \frac{a}{b}$ dan $\lim_{x \to 0} \frac{\tan cx}{dx} = \frac{c}{d}$.

Mari kita manipulasi ekspresi tersebut:

$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin 8\theta(1 + \cos \theta)}{\tan 4\theta(1 + 3 \sec \theta)}$

Pisahkan ekspresi menjadi bagian-bagian yang diketahui limitnya:

$= \lim_{\theta \to 0} \left( \frac{\sin 8\theta}{\tan 4\theta} \right) \times \lim_{\theta \to 0} \left( \frac{1 + \cos \theta}{1 + 3 \sec \theta} \right)$

Untuk bagian pertama, kita bisa membagikan pembilang dan penyebut dengan $\theta$:

$\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin 8\theta}{\tan 4\theta} = \lim_{\theta \to 0} \frac{\frac{\sin 8\theta}{\theta}}{\frac{\tan 4\theta}{\theta}}$

Gunakan sifat limit $\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{\theta} = a$ dan $\lim_{x \to 0} \frac{\tan cx}{\theta} = c$:

$= \frac{8}{4} = 2$

Untuk bagian kedua, substitusikan $\theta = 0$. Ingat bahwa $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta}$, jadi $\sec 0 = \frac{1}{\cos 0} = \frac{1}{1} = 1$:

$\lim_{\theta \to 0} \frac{1 + \cos \theta}{1 + 3 \sec \theta} = \frac{1 + \cos 0}{1 + 3 \sec 0} = \frac{1 + 1}{1 + 3(1)} = \frac{2}{1 + 3} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Sekarang, kalikan hasil dari kedua bagian tersebut:

$= 2 \times \frac{1}{2} = 1$

Jadi, nilai limitnya adalah 1.