Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 10mathGeometri

Diketahui sebuah kubus PORS.TUVW dengan panjang PQ = 9 cm.

Pertanyaan

Diketahui sebuah kubus PORS.TUVW dengan panjang PQ = 9 cm. Jarak titik Q ke garis PV adalah....

Solusi

Verified

3√6 cm

Pembahasan

Diketahui sebuah kubus PORS.TUVW dengan panjang PQ = 9 cm. Jarak titik Q ke garis PV adalah yang dicari. Untuk mencari jarak titik ke garis pada kubus, kita perlu membayangkan kubus tersebut dalam sistem koordinat atau menggunakan teorema Pythagoras. Misalkan titik P berada di (0, 0, 0). Karena PQ adalah rusuk kubus dengan panjang 9 cm, maka: P = (0, 0, 0) Q = (9, 0, 0) (Jika PQ sepanjang sumbu x) S = (0, 9, 0) (Jika PS sepanjang sumbu y) R = (9, 9, 0) Titik-titik di bidang atas TUVW akan memiliki koordinat z = 9: T = (0, 0, 9) U = (9, 0, 9) V = (9, 9, 9) W = (0, 9, 9) Kita ingin mencari jarak dari titik Q (9, 0, 0) ke garis PV. Pertama, kita tentukan vektor arah dari garis PV. P = (0, 0, 0) V = (9, 9, 9) Vektor PV = V - P = (9, 9, 9). Sekarang kita perlu mencari titik pada garis PV yang terdekat dengan Q. Misalkan titik tersebut adalah R'. Vektor QR' akan tegak lurus dengan vektor PV. Titik pada garis PV dapat direpresentasikan sebagai P + t * vektor PV, di mana t adalah skalar. Titik R' = (0, 0, 0) + t * (9, 9, 9) = (9t, 9t, 9t). Vektor QR' = R' - Q = (9t - 9, 9t - 0, 9t - 0) = (9t - 9, 9t, 9t). Karena QR' tegak lurus dengan PV, hasil kali titik (dot product) mereka adalah nol: QR' . PV = 0 (9t - 9, 9t, 9t) . (9, 9, 9) = 0 (9t - 9)*9 + (9t)*9 + (9t)*9 = 0 81t - 81 + 81t + 81t = 0 243t - 81 = 0 243t = 81 t = 81 / 243 t = 1/3 Sekarang kita substitusikan nilai t kembali ke vektor QR' untuk mencari panjangnya (jarak): R' = (9*(1/3), 9*(1/3), 9*(1/3)) = (3, 3, 3). Vektor QR' = R' - Q = (3 - 9, 3 - 0, 3 - 0) = (-6, 3, 3). Jarak Q ke garis PV adalah panjang vektor QR'. Jarak = ||QR'|| = sqrt((-6)^2 + 3^2 + 3^2) Jarak = sqrt(36 + 9 + 9) Jarak = sqrt(54) Jarak = sqrt(9 * 6) Jarak = 3 * sqrt(6) cm. Alternatif menggunakan geometri: Kubus PORS.TUVW, PQ = 9. P adalah titik asal (0,0,0). PV adalah diagonal ruang. Panjang PV = sqrt(9^2 + 9^2 + 9^2) = sqrt(3 * 81) = 9*sqrt(3). Titik Q ada di salah satu sudut bidang alas, misal di (9,0,0). Kita perlu jarak dari Q ke garis PV. Perhatikan segitiga PQR, di mana PQ=9, PR=9*sqrt(2) (diagonal sisi), QR=9. Pada kubus, garis PV adalah diagonal ruang yang menghubungkan P=(0,0,0) ke V=(9,9,9). Titik Q adalah (9,0,0). Jarak titik Q ke garis PV dapat dicari dengan luas segitiga PQV. PQ = 9 PV = 9*sqrt(3) QV = jarak dari (9,0,0) ke (9,9,9) = sqrt((9-9)^2 + (9-0)^2 + (9-0)^2) = sqrt(0 + 81 + 81) = sqrt(162) = 9*sqrt(2). Segitiga PQV memiliki sisi PQ=9, QV=9*sqrt(2), PV=9*sqrt(3). Apakah segitiga ini siku-siku? 9^2 + (9*sqrt(2))^2 = 81 + 162 = 243 (9*sqrt(3))^2 = 81 * 3 = 243. Ya, segitiga PQV siku-siku di Q. Luas segitiga PQV = 1/2 * alas * tinggi = 1/2 * PQ * QV = 1/2 * 9 * 9*sqrt(2) = (81/2)*sqrt(2). Kita juga bisa menghitung luas segitiga PQV dengan alas PV dan tinggi h (jarak Q ke PV). Luas = 1/2 * PV * h (81/2)*sqrt(2) = 1/2 * 9*sqrt(3) * h 81*sqrt(2) = 9*sqrt(3) * h h = (81*sqrt(2)) / (9*sqrt(3)) h = 9*sqrt(2) / sqrt(3) h = 9*sqrt(2)*sqrt(3) / 3 h = 3*sqrt(6). Jadi, jarak titik Q ke garis PV adalah 3*sqrt(6) cm.
Topik: Kubus
Section: Jarak Titik Ke Garis Pada Kubus

Apakah jawaban ini membantu?

On This Page

Loading Related Questions...