Semua bilangan real x yang memenuhi -1<(x+1)/(x-1)<1 adalah

x < 0

Pembahasan

Kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan -1 < (x+1)/(x-1) < 1.
Pertidaksamaan ini dapat dipecah menjadi dua pertidaksamaan terpisah:
1) -1 < (x+1)/(x-1)
2) (x+1)/(x-1) < 1

Menyelesaikan pertidaksamaan 1:
-1 < (x+1)/(x-1)
0 < (x+1)/(x-1) + 1
0 < (x+1 + x-1)/(x-1)
0 < 2x/(x-1)

Agar 2x/(x-1) > 0, maka pembilang (2x) dan penyebut (x-1) harus memiliki tanda yang sama.
Kasus 1a: 2x > 0 dan x-1 > 0
x > 0 dan x > 1
Irisannya adalah x > 1.

Kasus 1b: 2x < 0 dan x-1 < 0
x < 0 dan x < 1
Irisannya adalah x < 0.

Jadi, solusi untuk pertidaksamaan 1 adalah x < 0 atau x > 1.

Menyelesaikan pertidaksamaan 2:
(x+1)/(x-1) < 1
(x+1)/(x-1) - 1 < 0
(x+1 - (x-1))/(x-1) < 0
(x+1 - x + 1)/(x-1) < 0
2/(x-1) < 0

Agar 2/(x-1) < 0, penyebut (x-1) harus negatif karena pembilangnya positif.
x - 1 < 0
x < 1

Sekarang kita perlu mencari irisan dari solusi kedua pertidaksamaan:
Solusi 1: x < 0 atau x > 1
Solusi 2: x < 1

Irisan dari (x < 0 atau x > 1) dan (x < 1) adalah x < 0.

Jadi, semua bilangan real x yang memenuhi pertidaksamaan tersebut adalah x < 0.