Semua bilangan real x yang memenuhi (|x - 2|+x)/(2-|x

0 < x < 4

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan (|x - 2|+x)/(2-|x - 2|) >= 1, kita perlu mempertimbangkan dua kasus berdasarkan nilai mutlak |x - 2|.

Kasus 1: x - 2 >= 0, yaitu x >= 2.
Dalam kasus ini, |x - 2| = x - 2.
Pertidaksamaan menjadi:
( (x - 2) + x ) / ( 2 - (x - 2) ) >= 1
( 2x - 2 ) / ( 2 - x + 2 ) >= 1
( 2x - 2 ) / ( 4 - x ) >= 1

Pindahkan 1 ke sisi kiri:
( 2x - 2 ) / ( 4 - x ) - 1 >= 0
( 2x - 2 - (4 - x) ) / ( 4 - x ) >= 0
( 2x - 2 - 4 + x ) / ( 4 - x ) >= 0
( 3x - 6 ) / ( 4 - x ) >= 0

Agar pecahan ini positif atau nol, pembilang dan penyebut harus memiliki tanda yang sama, atau pembilang bernilai nol.

Subkasus 1.1: Pembilang positif dan penyebut positif
3x - 6 >= 0  => 3x >= 6 => x >= 2
4 - x > 0   => 4 > x   => x < 4
Irisan dari x >= 2 dan x < 4 adalah 2 <= x < 4.

Subkasus 1.2: Pembilang negatif dan penyebut negatif
3x - 6 <= 0  => 3x <= 6 => x <= 2
4 - x < 0   => 4 < x   => x > 4
Tidak ada irisan antara x <= 2 dan x > 4.

Jadi, dari Kasus 1 (x >= 2), solusi yang memenuhi adalah 2 <= x < 4.

Kasus 2: x - 2 < 0, yaitu x < 2.
Dalam kasus ini, |x - 2| = -(x - 2) = 2 - x.
Pertidaksamaan menjadi:
( (2 - x) + x ) / ( 2 - (2 - x) ) >= 1
( 2 ) / ( 2 - 2 + x ) >= 1
2 / x >= 1

Penyebut (x) tidak boleh nol, jadi x != 0.

Pindahkan 1 ke sisi kiri:
2 / x - 1 >= 0
( 2 - x ) / x >= 0

Agar pecahan ini positif atau nol, pembilang dan penyebut harus memiliki tanda yang sama, atau pembilang bernilai nol.

Subkasus 2.1: Pembilang positif dan penyebut positif
2 - x >= 0  => 2 >= x => x <= 2
x > 0
Irisan dari x <= 2 dan x > 0 adalah 0 < x <= 2.

Subkasus 2.2: Pembilang negatif dan penyebut negatif
2 - x <= 0  => 2 <= x => x >= 2
x < 0
Tidak ada irisan antara x >= 2 dan x < 0.

Jadi, dari Kasus 2 (x < 2), solusi yang memenuhi adalah 0 < x <= 2.

Sekarang kita gabungkan solusi dari kedua kasus.
Dari Kasus 1: 2 <= x < 4
Dari Kasus 2: 0 < x <= 2

Jika kita gabungkan kedua interval ini, kita mendapatkan 0 < x < 4.
Namun, kita juga perlu memperhatikan penyebut dalam pertidaksamaan awal, yaitu 2 - |x - 2|. Penyebut ini tidak boleh nol.
2 - |x - 2| != 0
|x - 2| != 2
Ini berarti x - 2 != 2 dan x - 2 != -2.
Jadi, x != 4 dan x != 0.

Mengingat syarat x != 0 dan x != 4, serta hasil gabungan dari kedua kasus adalah 0 < x < 4, maka himpunan penyelesaiannya adalah semua bilangan real x sehingga 0 < x < 4.