Seorang dokter menyarankan pasiennya untuk paling sedikit

15 tablet dan 0 kapsul, dengan biaya Rp11.250.

Pembahasan

Ini adalah soal program linear yang bertujuan untuk meminimalkan biaya dengan memenuhi kebutuhan nutrisi minimum.

Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut:

1.  **Definisikan Variabel Keputusan:**
    Misalkan:
    *   `x` = banyaknya tablet yang harus dimakan pasien setiap hari.
    *   `y` = banyaknya kapsul yang harus dimakan pasien setiap hari.

2.  **Rumuskan Fungsi Tujuan:**
    Tujuan pasien adalah mengeluarkan biaya semurah-murahnya. Biaya setiap tablet adalah Rp750 dan setiap kapsul adalah Rp500.
    Fungsi tujuan (biaya) adalah: `Minimize Z = 750x + 500y`

3.  **Rumuskan Kendala (Batasan):
    *   Kebutuhan minimal obat A adalah 84 unit per hari.
        Setiap tablet mengandung 10 unit obat A, dan setiap kapsul mengandung 2 unit obat A.
        Kendala 1: `10x + 2y >= 84`

    *   Kebutuhan minimal obat B adalah 120 unit per hari.
        Setiap tablet mengandung 8 unit obat B, dan setiap kapsul mengandung 4 unit obat B.
        Kendala 2: `8x + 4y >= 120`

    *   Jumlah tablet dan kapsul tidak boleh negatif.
        Kendala 3: `x >= 0`
        Kendala 4: `y >= 0`

4.  **Sederhanakan Kendala (jika memungkinkan):**
    *   Kendala 1 dapat disederhanakan dengan membagi 2: `5x + y >= 42`
    *   Kendala 2 dapat disederhanakan dengan membagi 4: `2x + y >= 30`

5.  **Temukan Titik-Titik Sudut (Titik Pojok) dari Daerah Feasible:**
    Daerah feasible dibatasi oleh garis-garis:
    *   L1: `5x + y = 42`
    *   L2: `2x + y = 30`
    *   Sumbu x: `y = 0`
    *   Sumbu y: `x = 0`

    Kita perlu mencari titik potong dari garis-garis ini:
    *   **Titik potong L1 dan L2:**
        Kurangkan L2 dari L1:
        `(5x + y) - (2x + y) = 42 - 30`
        `3x = 12`
        `x = 4`
        Substitusikan `x = 4` ke L2: `2(4) + y = 30` => `8 + y = 30` => `y = 22`.
        Titik potong: (4, 22).

    *   **Titik potong L1 dengan sumbu x (y=0):**
        `5x + 0 = 42` => `x = 42/5 = 8.4`.
        Titik: (8.4, 0).

    *   **Titik potong L2 dengan sumbu x (y=0):**
        `2x + 0 = 30` => `x = 15`.
        Titik: (15, 0).

    *   **Titik potong L1 dengan sumbu y (x=0):**
        `5(0) + y = 42` => `y = 42`.
        Titik: (0, 42).

    *   **Titik potong L2 dengan sumbu y (x=0):**
        `2(0) + y = 30` => `y = 30`.
        Titik: (0, 30).

    Karena kendala adalah `>=` (lebih besar dari atau sama dengan), daerah feasible berada di atas garis-garis tersebut. Titik-titik pojok yang relevan adalah titik-titik yang memenuhi semua kendala, yaitu:
    *   Titik potong L1 dan L2: (4, 22)
    *   Titik potong L2 dengan sumbu x (karena L2 lebih jauh dari sumbu x daripada L1 di sekitar titik potongnya dengan sumbu y, dan sebaliknya untuk sumbu x). Mari kita periksa kembali:
        Untuk y=0: L1 memotong di x=8.4, L2 memotong di x=15. Karena `x>=0` dan `y>=0` dan kendala `>=`. Titik pojoknya adalah perpotongan garis-garis pembatas.
        Titik pojok yang relevan adalah: (4, 22), (15, 0), dan (0, 42).

    Namun, kita harus memastikan bahwa titik-titik ini memenuhi semua kendala.
    *   Titik (4, 22):
        `5(4) + 22 = 20 + 22 = 42 >= 42` (Memenuhi L1)
        `2(4) + 22 = 8 + 22 = 30 >= 30` (Memenuhi L2)
        `4 >= 0`, `22 >= 0` (Memenuhi)
        Ini adalah titik yang valid.

    *   Titik (15, 0):
        `5(15) + 0 = 75 >= 42` (Memenuhi L1)
        `2(15) + 0 = 30 >= 30` (Memenuhi L2)
        `15 >= 0`, `0 >= 0` (Memenuhi)
        Ini adalah titik yang valid.

    *   Titik (0, 42):
        `5(0) + 42 = 42 >= 42` (Memenuhi L1)
        `2(0) + 42 = 42 >= 30` (Memenuhi L2)
        `0 >= 0`, `42 >= 0` (Memenuhi)
        Ini adalah titik yang valid.

6.  **Hitung Nilai Fungsi Tujuan di Setiap Titik Pojok:**
    *   Di (4, 22): `Z = 750(4) + 500(22) = 3000 + 11000 = Rp14.000`
    *   Di (15, 0): `Z = 750(15) + 500(0) = 11250 + 0 = Rp11.250`
    *   Di (0, 42): `Z = 750(0) + 500(42) = 0 + 21000 = Rp21.000`

7.  **Tentukan Nilai Minimum:**
    Nilai minimum dari Z adalah Rp11.250, yang terjadi ketika `x = 15` dan `y = 0`.

Jadi, pasien harus makan 15 tablet dan 0 kapsul setiap harinya agar biaya semurah-murahnya. Biaya setiap harinya adalah Rp11.250.