Seorang pekerja di toko bangunan hendak mengikat tiga buah

a. 14 cm, b. Bersinggungan, c. (42 + 14π) cm

Pembahasan

a. Tentukan jarak antara titik pusat lingkaran.
Ketiga pipa memiliki jari-jari yang sama, yaitu $r = 7$ cm. Ketika tiga lingkaran dengan jari-jari yang sama disusun bersinggungan membentuk segitiga sama sisi, jarak antara titik pusat dua lingkaran yang bersinggungan sama dengan dua kali jari-jarinya. 
Misalkan titik pusat ketiga lingkaran adalah P1, P2, dan P3. Segitiga P1P2P3 adalah segitiga sama sisi.
Jarak P1 ke P2 = $r + r = 2r = 2 	imes 7 = 14$ cm.
Jarak P2 ke P3 = $r + r = 2r = 2 	imes 7 = 14$ cm.
Jarak P3 ke P1 = $r + r = 2r = 2 	imes 7 = 14$ cm.
Jadi, jarak antara titik pusat setiap pasangan lingkaran adalah 14 cm.

b. Berdasarkan perbandingan jarak titik pusat kedua lingkaran dengan jari-jari lingkaran, bagaimanakah kedudukan kedua lingkaran?
Jarak antara titik pusat kedua lingkaran adalah 14 cm. Jari-jari masing-masing lingkaran adalah 7 cm. 
Perbandingan jarak titik pusat (d) dengan jumlah jari-jari ($r_1 + r_2$) adalah $d = 14$ cm dan $r_1 + r_2 = 7 + 7 = 14$ cm.
Karena jarak antara titik pusat sama dengan jumlah jari-jari ($d = r_1 + r_2$), maka kedudukan kedua lingkaran tersebut adalah bersinggungan di satu titik.

c. Berapa panjang tali untuk mengikat ketiga pipa tersebut?
Panjang tali yang dibutuhkan untuk mengikat ketiga pipa tersebut terdiri dari dua bagian: panjang busur lingkaran yang dibentuk oleh ikatan di bagian luar, dan panjang tali lurus yang menghubungkan titik-titik singgung pada ikatan.

Namun, dari deskripsi soal dan gambar penampang ikatan tiga pipa yang bersinggungan membentuk segitiga sama sisi, tali pengikat biasanya membungkus ketiga pipa tersebut. Kita akan menghitung panjang tali yang melingkari bagian luar ketiga pipa.

Panjang tali lurus:
Setiap sisi segitiga sama sisi yang dibentuk oleh titik pusat lingkaran memiliki panjang 14 cm. Tali pengikat akan membentuk segitiga yang lebih kecil di bagian tengah. Tali yang lurus menghubungkan titik singgung antara dua pipa yang berdekatan. Dalam konfigurasi ini, tali pengikat yang lurus akan berada sejajar dengan sisi segitiga pusat, dan panjangnya sama dengan jarak antara titik pusat, yaitu 14 cm. Ada tiga bagian tali lurus seperti ini.

Panjang busur lingkaran:
Setiap pipa akan terikat oleh tali pada sebagian kelilingnya. Sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari yang mengarah ke titik singgung antara dua pipa yang berdekatan, pada pusat lingkaran, adalah 120 derajat (karena segitiga titik pusat adalah sama sisi, setiap sudutnya 60 derajat, dan sudut di dalam ikatan tali adalah $180 - 60 = 120$ derajat jika kita melihat dari sisi tali yang melingkar). 
Namun, jika kita membayangkan tali membungkus ketiga pipa, maka setiap pipa akan memiliki bagian yang terikat oleh tali sebesar sudut $120^	ext{o}$ (atau $2	ext{π}/3$ radian). 

Jika ikatan melingkar seperti pada gambar penampang yang umum, maka panjang tali yang dibutuhkan adalah:
Panjang tali = 3 * (panjang tali lurus antar titik singgung) + 3 * (panjang busur lingkaran).

Dari penampang, tali tersebut membentuk segitiga sama sisi yang titik sudutnya berada di titik singgung antar pipa. Jarak antara titik singgung ini adalah sisi dari segitiga sama sisi yang lebih kecil.

Alternatif perhitungan yang lebih umum untuk mengikat tiga bola/pipa:
Panjang tali = 3 * (panjang tali lurus yang menghubungkan titik singgung) + 3 * (panjang busur lingkaran).

Jika kita melihat dari sisi penampang ikatan, tali pengikat akan membentuk tiga garis lurus dan tiga busur. Tiga garis lurus ini membentuk segitiga sama sisi yang sisi-sisinya paralel dengan garis penghubung titik pusat. Sudut di pusat lingkaran yang dibatasi oleh tali adalah $120^	ext{o}$.

Panjang satu busur = $(120/360) 	imes 2 	imes 	ext{π} 	imes r = (1/3) 	imes 2 	imes 	ext{π} 	imes 7 = 14	ext{π}/3$ cm.
Total panjang tiga busur = $3 	imes (14	ext{π}/3) = 14	ext{π}$ cm.

Panjang tali lurus yang menghubungkan dua titik singgung:
Dalam segitiga sama sisi yang dibentuk oleh titik pusat (sisi 14 cm), kita bisa membentuk segitiga sama sisi yang lebih kecil di tengah dengan titik-titik singgung. Sudut di pusat adalah $120^	ext{o}$. Tali lurusnya menghubungkan titik singgung.
Cara lain menghitung panjang tali pengikat (dari gambar penampang ikatan):
Bayangkan sebuah segitiga sama sisi yang dibentuk oleh garis-garis singgung tali.
Jarak antara titik pusat adalah 14 cm.
Untuk setiap pipa, terdapat sudut $120^	ext{o}$ yang dilalui oleh tali.
Panjang busur pada satu pipa = $\frac{120}{360} \times 2 \pi r = \frac{1}{3} \times 2 \pi (7) = \frac{14 \pi}{3}$.
Total panjang busur = $3 \times \frac{14 \pi}{3} = 14 \pi$ cm.

Panjang tiga segmen tali lurus: Segmen tali lurus ini akan menghubungkan titik singgung. Jika kita perhatikan, tali pengikat akan membentuk segitiga sama sisi yang sisi-sisinya sejajar dengan garis penghubung pusat. Jarak antara titik pusat adalah 14 cm. Tinggi segitiga sama sisi yang dibentuk oleh pusat adalah $\frac{\sqrt{3}}{2} \times 14 = 7\sqrt{3}$ cm. Sudut pusat yang dibentuk oleh tali adalah 120 derajat.

Mari kita pakai cara yang lebih langsung dari gambar penampang: Tali lurus menghubungkan titik singgung antara dua pipa. Tiga titik singgung ini membentuk segitiga sama sisi. Jarak antara titik pusat adalah 14 cm.
Untuk menghitung panjang tali lurus di antara dua pipa: Perhatikan satu pipa. Tali datang dari titik singgung ke pipa lain, lalu belok lurus, lalu belok lagi ke busur. Segmen lurusnya adalah sejajar dengan garis penghubung titik pusat. Panjangnya adalah 14 cm.

Panjang tali = 3 x (panjang busur lingkaran) + 3 x (panjang tali lurus).
Panjang busur = $1/3$ keliling = $1/3 	imes 2 	imes 	ext{π} 	imes 7 = 14	ext{π}/3$.
Total panjang busur = $3 	imes (14	ext{π}/3) = 14	ext{π}$.

Panjang tali lurus: Segmen tali lurus yang menghubungkan dua titik singgung. Misalkan titik pusat P1, P2, P3. Titik singgung antara P1 dan P2 adalah T12. Tali lurus menghubungkan T12 ke T23 (titik singgung P2 dan P3) dan seterusnya. Jarak antara T12 dan T23 adalah sisi segitiga sama sisi yang lebih kecil. 

Cara yang lebih sederhana untuk mengikat 3 pipa/bola:
Panjang tali = 3 * (jarak antar titik pusat) + 3 * (panjang busur).
Jika ikatan rapat, panjang tali = $3 	imes (	ext{diameter}) + 3 	imes (\text{sudut} \times \text{jari-jari})$.

Perhitungan umum untuk ikatan tiga silinder:
Panjang tali = $3 	imes (	ext{panjang tali lurus antara titik singgung}) + 3 	imes (\text{panjang busur})$.
Panjang tali lurus antara titik singgung: Segitiga yang dibentuk oleh titik pusat adalah sama sisi dengan sisi 14 cm. Tinggi segitiga ini adalah $h = 14 rac{\sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3}$.
Titik singgung terletak pada garis yang menghubungkan titik pusat. Tali lurus akan melewati titik singgung ini.

Jika ikatan melingkar, maka panjang tali = 3 * (panjang busur) + 3 * (panjang tali lurus).
Panjang busur = $120/360 * 2 * pi * r = 1/3 * 2 * pi * 7 = 14pi/3$.
Total panjang busur = $3 * 14pi/3 = 14pi$. 

Panjang tali lurus: Tali lurus menghubungkan titik singgung. Jarak antara titik singgung T12 dan T23. Jika kita perhatikan geometri ikatan, tali lurus ini adalah sisi segitiga sama sisi yang titik sudutnya berada pada titik singgung. Jarak antara titik pusat adalah 14 cm. Tinggi segitiga pusat adalah $7	ext{√}3$. Titik singgung berjarak $r$ dari titik pusat.

Perhitungan yang benar untuk panjang tali pengikat tiga silinder identik adalah:
Panjang tali = $2 	imes (\text{keliling lingkaran}) + 3 \times (2 	imes r)$ --> Ini jika dua silinder diikat, lalu satu lagi.

Untuk tiga silinder yang berdekatan membentuk segitiga sama sisi:
Panjang tali = $3 	imes (	ext{panjang busur } 120^	ext{o}) + 3 	imes (	ext{panjang tali lurus})$.
Panjang busur $120^	ext{o}$ = $14	ext{π}/3$ cm.
Total panjang busur = $14	ext{π}$ cm.

Panjang tali lurus: Tali lurus menghubungkan titik singgung. Jarak antara dua titik singgung. Misalkan titik pusat P1, P2, P3 membentuk segitiga sama sisi dengan sisi 14 cm. Titik singgung T12 (antara P1 dan P2), T23 (antara P2 dan P3). Jarak T12 ke T23.

Jika kita perhatikan gambar penampang ikatan tiga pipa, tali pengikat terdiri dari 3 segmen tali lurus yang membentuk segitiga sama sisi, dan 3 segmen busur lingkaran.
Segmen tali lurusnya adalah sisi dari segitiga sama sisi yang dibentuk oleh titik singgung. Sisi ini sejajar dengan garis penghubung titik pusat.
Panjang segmen tali lurus = jarak antara titik pusat = 14 cm.
Total panjang tali lurus = $3 	imes 14 = 42$ cm.

Panjang busur lingkaran: setiap pipa memiliki 1/3 kelilingnya yang terikat.
Panjang busur per pipa = $(120/360) 	imes 2 	imes 	ext{π} 	imes r = (1/3) 	imes 2 	imes 	ext{π} 	imes 7 = 14	ext{π}/3$ cm.
Total panjang busur = $3 	imes (14	ext{π}/3) = 14	ext{π}$ cm.

Jadi, total panjang tali = Panjang tali lurus + Panjang busur.
Total panjang tali = $42 + 14	ext{π}$ cm.
Jika menggunakan $	ext{π} \approx 22/7$, maka:
Total panjang tali = $42 + 14 	imes (22/7) = 42 + 2 	imes 22 = 42 + 44 = 86$ cm.

Jika menggunakan $	ext{π} \approx 3.14$, maka:
Total panjang tali = $42 + 14 	imes 3.14 = 42 + 43.96 = 85.96$ cm.

Mari kita pastikan lagi perhitungan panjang tali lurusnya. Pada gambar penampang, tali lurus menghubungkan titik singgung. Jarak antara titik pusat P1 dan P2 adalah 14. Titik singgung T12 berada di tengah garis P1P2. Jarak P1T12 = 7, P2T12 = 7.
Segitiga T12 T23 T31 (titik singgung) adalah segitiga sama sisi. Sisi T12 T23.
Kita bisa gunakan teorema Pythagoras pada segitiga yang dibentuk oleh P2, T12, dan T23. Sudut P2 dalam segitiga P1P2P3 adalah 60 derajat. Garis P2T12 dan P2T23 adalah jari-jari. Sudut T12 P2 T23 = 60 derajat. Segitiga P2 T12 T23 adalah segitiga sama kaki dengan sudut puncak 60 derajat, sehingga merupakan segitiga sama sisi. Jadi, P2T12 = P2T23 = T12T23 = 7 cm.
Ini berarti panjang tali lurus antara dua titik singgung adalah 7 cm.
Total panjang tali lurus = $3 	imes 7 = 21$ cm.

Total panjang tali = $3 	imes (	ext{panjang busur } 120^	ext{o}) + 3 	imes (	ext{panjang tali lurus antar titik singgung})$
Total panjang tali = $14	ext{π} + 3 	imes 7 = 14	ext{π} + 21$ cm.

Jika menggunakan $	ext{π} \approx 22/7$:
Total panjang tali = $14 	imes (22/7) + 21 = 2 	imes 22 + 21 = 44 + 21 = 65$ cm.

Jika menggunakan $	ext{π} \approx 3.14$:
Total panjang tali = $14 	imes 3.14 + 21 = 43.96 + 21 = 64.96$ cm.

Mari kita cek kembali interpretasi gambar. Ikatan tiga pipa: tali melingkari bagian luar. 
Bagian tali lurus adalah yang menghubungkan titik di mana tali tegak lurus terhadap pipa. 

Perhitungan standar:
Panjang tali = (Keliling lingkaran) + 2 * (jarak antara pusat) + 2 * (jari-jari) --> Ini untuk 2 pipa.

Untuk 3 pipa yang membentuk segitiga sama sisi:
Setiap pipa terikat oleh 2 segmen tali lurus dan 1 busur.
Segmen tali lurus pada satu pipa: Jarak dari titik singgung ke titik di mana tali belok ke busur. Jarak ini adalah jari-jari, 7 cm.
Panjang 2 segmen tali lurus per pipa = $2 	imes 7 = 14$ cm.
Total panjang tali lurus = $3 	imes 14 = 42$ cm.

Panjang busur per pipa = $120/360 	imes 2 	imes 	ext{π} 	imes 7 = 14	ext{π}/3$ cm.
Total panjang busur = $3 	imes 14	ext{π}/3 = 14	ext{π}$ cm.

Total panjang tali = Total tali lurus + Total busur = $42 + 14	ext{π}$ cm.
Dengan $	ext{π} \approx 22/7$, total panjang tali = $42 + 14(22/7) = 42 + 44 = 86$ cm.

Jadi, jawabannya adalah:
a. Jarak antara titik pusat lingkaran adalah 14 cm.
b. Kedudukan kedua lingkaran adalah bersinggungan di satu titik karena jarak pusat sama dengan jumlah jari-jari ($14 = 7+7$).
c. Panjang tali untuk mengikat ketiga pipa tersebut adalah $42 + 14	ext{π}$ cm, atau sekitar 86 cm.