Diketahui f(x)=a x+b, f(x)<0 untuk 0<=x<2 dan f(x)>=0 untuk

f(x) = 2x - 4.

Pembahasan

Diketahui f(x) = ax + b. Fungsi ini adalah fungsi linear.
Diketahui bahwa f(x) < 0 untuk 0 ≤ x < 2 dan f(x) ≥ 0 untuk x ≥ 2. Ini berarti fungsi memotong sumbu x pada x=2. Dengan kata lain, f(2) = 0.
Substitusikan x=2 ke dalam f(x) = ax + b:
a(2) + b = 0
2a + b = 0
b = -2a

Jadi, f(x) = ax - 2a = a(x - 2).

Diketahui bahwa integral dari 0 sampai 4 f(x) dx = 0:
∫[0, 4] a(x-2) dx = 0
a ∫[0, 4] (x-2) dx = 0
a [ (1/2)x^2 - 2x ] |[0, 4] = 0
a [ ((1/2)(4)^2 - 2(4)) - ((1/2)(0)^2 - 2(0)) ] = 0
a [ (1/2)(16) - 8 - (0 - 0) ] = 0
a [ 8 - 8 ] = 0
a [ 0 ] = 0

Persamaan ini selalu benar untuk nilai 'a' berapapun, yang berarti informasi integral saja tidak cukup untuk menentukan 'a'. Kita perlu menggunakan informasi luas.

Luas daerah yang dibatasi oleh y=f(x), x=0, x=4 dan sumbu-x adalah 8. Karena f(x) < 0 untuk 0 ≤ x < 2 dan f(x) ≥ 0 untuk x ≥ 2, maka daerah tersebut terbagi menjadi dua bagian:
1. Daerah di bawah sumbu x dari x=0 sampai x=2.
2. Daerah di atas sumbu x dari x=2 sampai x=4.

Luas 1 = |∫[0, 2] a(x-2) dx|
Luas 1 = | a [ (1/2)x^2 - 2x ] |[0, 2] |
Luas 1 = | a [ ((1/2)(2)^2 - 2(2)) - (0) ] |
Luas 1 = | a [ (1/2)(4) - 4 ] |
Luas 1 = | a [ 2 - 4 ] |
Luas 1 = | a [ -2 ] |
Luas 1 = |-2a|

Luas 2 = ∫[2, 4] a(x-2) dx
Luas 2 = a [ (1/2)x^2 - 2x ] |[2, 4]
Luas 2 = a [ ((1/2)(4)^2 - 2(4)) - ((1/2)(2)^2 - 2(2)) ]
Luas 2 = a [ (8 - 8) - (2 - 4) ]
Luas 2 = a [ 0 - (-2) ]
Luas 2 = a [ 2 ]
Luas 2 = 2a

Total Luas = Luas 1 + Luas 2 = 8
|-2a| + 2a = 8

Kita perlu mempertimbangkan dua kasus untuk |-2a|:
Kasus 1: -2a ≥ 0 => a ≤ 0
Jika a ≤ 0, maka |-2a| = -2a.
Maka, -2a + 2a = 8 => 0 = 8. Ini tidak mungkin.

Kasus 2: -2a < 0 => a > 0
Jika a > 0, maka |-2a| = -(-2a) = 2a.
Maka, 2a + 2a = 8 => 4a = 8 => a = 2.

Nilai a = 2 memenuhi kondisi a > 0.
Sekarang kita cari nilai b:
b = -2a = -2(2) = -4.

Jadi, f(x) = 2x - 4.