Seorang petani menyemprot obat pembasmi hama pada

10 jam

Pembahasan

Fungsi yang menyatakan reaksi obat setelah $t$ jam adalah $f(t) = 15t^2 - t^3$. Untuk mencari kapan reaksi maksimum tercapai, kita perlu mencari nilai $t$ ketika turunan pertama dari $f(t)$ sama dengan nol, dan kemudian memeriksa apakah itu adalah maksimum lokal menggunakan turunan kedua.

Langkah 1: Cari turunan pertama $f'(t)$.
$f'(t) = \frac{d}{dt}(15t^2 - t^3) = 30t - 3t^2$.

Langkah 2: Atur $f'(t) = 0$ untuk mencari titik kritis.
$30t - 3t^2 = 0$
$3t(10 - t) = 0$
Ini memberikan dua solusi: $t = 0$ atau $t = 10$.

Langkah 3: Cari turunan kedua $f''(t)$ untuk menentukan jenis titik kritis.
$f''(t) = \frac{d}{dt}(30t - 3t^2) = 30 - 6t$.

Langkah 4: Evaluasi $f''(t)$ pada titik kritis.
Untuk $t = 0$: $f''(0) = 30 - 6(0) = 30$. Karena $f''(0) > 0$, maka $t=0$ adalah titik minimum lokal.
Untuk $t = 10$: $f''(10) = 30 - 6(10) = 30 - 60 = -30$. Karena $f''(10) < 0$, maka $t=10$ adalah titik maksimum lokal.

Karena waktu $t$ haruslah positif (setelah disemprotkan), maka reaksi maksimum tercapai pada $t=10$ jam.

Nilai maksimum reaksi dapat dihitung dengan mensubstitusikan $t=10$ ke dalam $f(t)$: $f(10) = 15(10)^2 - (10)^3 = 15(100) - 1000 = 1500 - 1000 = 500$. Namun, soal hanya menanyakan waktu tercapainya reaksi maksimum.

Jadi, reaksi maksimum tercapai setelah 10 jam.