Seseorang menabung sejumlah uang di bank dan mendapat bunga

Uang yang harus ditabung adalah Rp1.000.000,00.

Pembahasan

Misalkan uang yang ditabung adalah P. Bunga majemuk 10% setahun. Setiap tahun diambil Rp100.000,00.
Pada akhir tahun ke-1:
Saldo = P(1+0.1) - 100.000 = 1.1P - 100.000
Agar bisa terus mengambil Rp100.000 setiap tahun, maka saldo akhir tahun harus mencukupi untuk diambil dan sisa bunga tahun berikutnya. Ini adalah masalah anuitas yang ditunda.
Pendekatan lain: Agar setiap tahun ia dapat mengambil Rp100.000,00, maka uang tabungan awal harus sedemikian rupa sehingga setelah ditambah bunga, bisa menutupi pengambilan Rp100.000,00 dan menyisakan sejumlah yang sama untuk tahun berikutnya. 
Secara matematis, ini dapat diartikan bahwa uang tabungan awal P harus sama dengan jumlah nilai sekarang (present value) dari anuitas tak terhingga yang dibayarkan setiap tahun sebesar Rp100.000,00 dengan tingkat diskonto 10%. Namun, karena ada pengambilan setiap tahun, ini lebih tepat diartikan sebagai nilai sekarang dari serangkaian pembayaran yang sama di masa depan.
Jika kita asumsikan bahwa uang yang tersisa setelah pengambilan tetap menghasilkan bunga 10% dan cukup untuk pengambilan berikutnya, maka dalam jangka panjang, pengambilan Rp100.000 harus sama dengan bunga yang dihasilkan dari sejumlah uang P.
Bunga per tahun = 10% dari P = 0.1P. 
Jika P harus cukup untuk diambil Rp100.000 setiap tahun, maka bunga yang dihasilkan harus sama dengan jumlah yang diambil, yaitu 0.1P = 100.000.
P = 100.000 / 0.1 = 1.000.000.
Namun, ini adalah penyederhanaan. Jika kita pertimbangkan pengambilan secara bertahap:
Misalkan P adalah jumlah tabungan awal.
Akhir tahun 1: 1.1P - 100.000
Akhir tahun 2: 1.1(1.1P - 100.000) - 100.000 = 1.21P - 110.000 - 100.000 = 1.21P - 210.000
Akhir tahun 3: 1.1(1.21P - 210.000) - 100.000 = 1.331P - 231.000 - 100.000 = 1.331P - 331.000
Untuk bisa terus mengambil Rp100.000, saldo harus tetap positif dan cukup untuk pertumbuhan bunga. Ini mengarah pada konsep nilai sekarang dari anuitas.
Nilai sekarang dari anuitas biasa: PV = C * [1 - (1 + r)^-n] / r
Dalam kasus ini, kita ingin saldo akhir selalu cukup untuk pengambilan Rp100.000. Ini berarti bahwa P harus merupakan nilai sekarang dari aliran kas masa depan yang konstan sebesar Rp100.000.
Jika diasumsikan bahwa dana tersebut tidak akan habis, maka jumlah uang yang harus ditabung (P) harus menghasilkan bunga tahunan yang sama dengan jumlah yang diambil setiap tahun, dengan mempertimbangkan bunga majemuk.
Ini adalah masalah nilai sekarang dari anuitas abadi, namun dengan penyesuaian karena pengambilan dilakukan setelah bunga dihitung. Jika kita menganggap bahwa uang yang ditabung adalah pokok yang akan terus berbunga dan dari bunga tersebut diambil Rp100.000, maka:
P * 0.10 = 100.000
P = 1.000.000
Namun, jika diambil di akhir tahun setelah bunga dihitung, maka modelnya sedikit berbeda.
Mari kita gunakan konsep nilai sekarang dari anuitas.
Jumlah yang harus ditabung P harus cukup untuk menghasilkan Rp100.000 setiap tahun. Dengan bunga 10%, ini berarti bahwa Rp100.000 adalah bunga dari sejumlah pokok tertentu.
Jika P adalah jumlah tabungan, maka pada akhir tahun pertama, bunga adalah 0.1P. Setelah diambil Rp100.000, saldo menjadi P + 0.1P - 100.000 = 1.1P - 100.000.
Agar pola ini berulang, maka saldo akhir tahun tersebut harus memenuhi kondisi tertentu. Masalah ini menyiratkan bahwa saldo pokok harus terus menerus menghasilkan bunga yang mencukupi untuk pengambilan.
Asumsikan P adalah uang yang ditabung. Bunga 10% per tahun. Pengambilan Rp100.000 per tahun.
Saldo akhir tahun 1 = P(1.1) - 100.000
Saldo akhir tahun 2 = (P(1.1) - 100.000)(1.1) - 100.000 = P(1.1)^2 - 100.000(1.1) - 100.000
Saldo akhir tahun n = P(1.1)^n - 100.000(1.1^{n-1} + 1.1^{n-2} + ... + 1.1 + 1)
Ini adalah deret geometri. Jumlahnya = 100.000 * [(1.1^n - 1) / (1.1 - 1)] = 100.000 * [(1.1^n - 1) / 0.1] = 1.000.000 * (1.1^n - 1).
Jadi, Saldo akhir tahun n = P(1.1)^n - 1.000.000(1.1^n - 1).
Agar ia dapat terus mengambil Rp100.000,00 setiap tahun, ini berarti bahwa jumlah pokok P harus menghasilkan bunga yang sama dengan jumlah yang diambil, dalam jangka panjang. Ini bisa diinterpretasikan sebagai nilai sekarang dari anuitas abadi.
PV = C / r, di mana C adalah pembayaran periodik dan r adalah tingkat bunga.
PV = 100.000 / 0.10 = 1.000.000.
Namun, ini mengasumsikan pembayaran di awal periode atau perhitungan yang sedikit berbeda. Jika pengambilan dilakukan setelah bunga dihitung, maka uang yang ditabung harus menjadi pokok yang jika dibungakan 10% akan menghasilkan Rp100.000.
Mari kita gunakan logika bahwa saldo harus selalu bisa dipertahankan.
Jika uang yang ditabung adalah P, maka setelah 1 tahun bunga 10%, menjadi 1.1P. Diambil 100.000, sisa 1.1P - 100.000.
Agar bisa terus mengambil 100.000, maka 100.000 ini haruslah bunga dari sisa pokoknya. Ini berarti bahwa 100.000 haruslah 10% dari pokok yang tersisa.
Ini adalah kesalahpahaman umum. Soal ini sebenarnya tentang berapa jumlah awal yang diperlukan agar penarikan Rp100.000 setiap tahun tidak menggerus pokoknya, melainkan hanya dari bunganya.
Jika bunga yang didapat setiap tahun adalah Rp100.000, maka:
0.10 * P = 100.000
P = 100.000 / 0.10
P = 1.000.000
Ini adalah jawaban yang paling umum untuk masalah semacam ini, dengan asumsi bahwa pengambilan hanya berasal dari bunga yang dihasilkan.