Setiap awal bulan, Haris membayar angsuran pinjaman pada

Rp7.207.260,28

Pembahasan

Haris membayar angsuran sebesar Rp300.000,00 setiap bulan selama satu tahun (12 bulan). Jika ia ingin membayar sekaligus di awal bulan pertama dengan suku bunga majemuk 1% per bulan, kita perlu menghitung nilai sekarang (present value) dari seluruh pembayaran angsuran tersebut.

Ini adalah anuitas biasa, di mana pembayaran dilakukan di akhir periode. Namun, karena Haris membayar di awal bulan pertama, kita perlu menghitung nilai sekarang dari setiap pembayaran angsuran yang didiskontokan ke bulan pertama.

Rumus nilai sekarang (PV) untuk anuitas biasa adalah:
PV = P * [1 - (1 + r)^(-n)] / r

Dimana:
P = Pembayaran per periode = Rp300.000,00
r = Suku bunga per periode = 1% = 0,01
n = Jumlah periode = 12 bulan

Namun, karena Haris membayar sekaligus di awal, kita harus menghitung nilai sekarang dari setiap pembayaran angsuran yang dijadwalkan dari bulan ke-2 hingga bulan ke-12, didiskontokan ke bulan pertama.

Angsuran bulan ke-2: 300.000 / (1 + 0,01)^1 = 300.000 / 1,01
Angsuran bulan ke-3: 300.000 / (1 + 0,01)^2 = 300.000 / (1,01)^2
...
Angsuran bulan ke-12: 300.000 / (1 + 0,01)^11 = 300.000 / (1,01)^11

Total pembayaran = 300.000 (pembayaran bulan pertama) + [300.000 / 1,01 + 300.000 / (1,01)^2 + ... + 300.000 / (1,01)^11]
Total pembayaran = 300.000 * [1 + 1/1.01 + 1/(1.01)^2 + ... + 1/(1.01)^11]

Ini adalah jumlah deret geometri dengan suku pertama a = 1, rasio r = 1/1.01, dan jumlah suku n = 11.
Jumlah deret geometri = a * (1 - r^n) / (1 - r)
Jumlah deret geometri = 1 * (1 - (1/1.01)^11) / (1 - 1/1.01)
Jumlah deret geometri = (1 - (1/1.01)^11) / ((1.01 - 1) / 1.01)
Jumlah deret geometri = (1 - (1/1.01)^11) * 1.01 / 0.01

Menggunakan petunjuk:
1,01^11 = 1,2801
(1/1.01)^11 = 1 / 1.01^11 = 1 / 1.2801 ≈ 0,78119

Jumlah deret geometri ≈ (1 - 0,78119) * 1.01 / 0.01
Jumlah deret geometri ≈ (0,21881) * 101
Jumlah deret geometri ≈ 22,100

Total pembayaran = 300.000 * (1 + Jumlah deret geometri dari bulan ke-2 sampai 12)

Cara lain yang lebih mudah adalah menggunakan rumus nilai sekarang anuitas yang dibayarkan di awal (annuity due):
PV_due = P * [1 - (1 + r)^(-n)] / r * (1 + r)
PV_due = 300.000 * [1 - (1,01)^(-12)] / 0,01 * (1,01)

Kita tahu 1,01^12 = 1,3121, maka 1,01^(-12) = 1 / 1.3121 ≈ 0,7621

PV_due = 300.000 * [1 - 0,7621] / 0,01 * (1,01)
PV_due = 300.000 * [0,2379] / 0,01 * (1,01)
PV_due = 300.000 * 23,79 * 1,01
PV_due = 7.137.000 * 1,01
PV_due = 7.208.370

Namun, jika maksud soal adalah Haris membayar sekaligus di awal bulan pertama untuk angsuran yang seharusnya dibayar dari bulan pertama sampai bulan ke-12, maka kita perlu menghitung nilai sekarang dari setiap pembayaran tersebut.

Angsuran bulan ke-1: Dibayar di bulan ke-1 = 300.000
Angsuran bulan ke-2: Dibayar di bulan ke-1 = 300.000 / (1,01)^1
Angsuran bulan ke-3: Dibayar di bulan ke-1 = 300.000 / (1,01)^2
...
Angsuran bulan ke-12: Dibayar di bulan ke-1 = 300.000 / (1,01)^11

Total = 300.000 + 300.000/(1,01) + 300.000/(1,01)^2 + ... + 300.000/(1,01)^11
Total = 300.000 * [1 + 1/1.01 + 1/(1.01)^2 + ... + 1/(1.01)^11]
Total = 300.000 * [ (1 - (1/1.01)^12) / (1 - 1/1.01) ]
Total = 300.000 * [ (1 - 1/1.3121) / (0.01/1.01) ]
Total = 300.000 * [ (1 - 0.7621) / (0.0099) ]
Total = 300.000 * [ 0.2379 / 0.0099 ]
Total = 300.000 * 24.03
Total = 7.209.000

Menggunakan petunjuk yang diberikan:
1,01^11 = 1,2801
1,01^12 = 1,3121
1,01^13 = 1,3449

Kita perlu menghitung nilai sekarang dari 12 pembayaran masing-masing Rp300.000 yang dimulai dari bulan ke-1 (dibayar di awal) dengan bunga 1% per bulan.

Pembayaran 1 (di bulan ke-1): Rp300.000
Pembayaran 2 (di bulan ke-2): Nilai sekarang di bulan ke-1 = 300.000 / (1.01)^1
Pembayaran 3 (di bulan ke-3): Nilai sekarang di bulan ke-1 = 300.000 / (1.01)^2
...
Pembayaran 12 (di bulan ke-12): Nilai sekarang di bulan ke-1 = 300.000 / (1.01)^11

Total = 300.000 + 300.000/(1.01) + 300.000/(1.01)^2 + ... + 300.000/(1.01)^11
Ini adalah deret geometri dengan suku pertama a = 300.000, rasio r = 1/1.01, dan jumlah suku n = 12.

Jumlah = a * (1 - r^n) / (1 - r)
Jumlah = 300.000 * [1 - (1/1.01)^12] / (1 - 1/1.01)
Jumlah = 300.000 * [1 - 1/1.3121] / (0.01/1.01)
Jumlah = 300.000 * [ (1.3121 - 1) / 1.3121 ] / (0.01/1.01)
Jumlah = 300.000 * [ 0.3121 / 1.3121 ] * (1.01 / 0.01)
Jumlah = 300.000 * [ 0.2378633755 ] * 101
Jumlah = 300.000 * 24.02419
Jumlah = 7.207.257

Mari kita cek kembali menggunakan rumus annuity due:
PV = PMT * [ (1 - (1 + i)^(-n)) / i ] * (1 + i)
PV = 300.000 * [ (1 - (1.01)^(-12)) / 0.01 ] * (1.01)
PV = 300.000 * [ (1 - 1/1.3121) / 0.01 ] * (1.01)
PV = 300.000 * [ (1 - 0.7621035) / 0.01 ] * (1.01)
PV = 300.000 * [ 0.2378965 / 0.01 ] * (1.01)
PV = 300.000 * 23.78965 * 1.01
PV = 7.136.895 * 1.01
PV = 7.208.264

Jika kita menggunakan nilai eksak:
Jumlah = 300.000 * sum([(1/1.01)**k for k in range(12)])
Ini adalah deret geometri terbalik. 

Perhitungan yang paling akurat dengan menggunakan nilai yang diberikan:
Nilai pembayaran Haris adalah nilai sekarang dari 12 kali pembayaran Rp300.000 dengan bunga 1% per bulan, dibayar di awal.
Ini adalah anuitas jatuh tempo (annuity due).

Formula anuitas jatuh tempo: PV = P * [1 - (1+r)^-n] / r * (1+r)
PV = 300.000 * [1 - (1.01)^-12] / 0.01 * (1.01)
Kita tahu 1.01^12 = 1.3121
(1.01)^-12 = 1 / 1.3121

PV = 300.000 * [1 - 1/1.3121] / 0.01 * (1.01)
PV = 300.000 * [ (1.3121 - 1) / 1.3121 ] / 0.01 * (1.01)
PV = 300.000 * [ 0.3121 / 1.3121 ] * 1.01 / 0.01
PV = 300.000 * (0.3121 / 1.3121) * 101
PV = 300.000 * 0.2378633755... * 101
PV = 300.000 * 24.02419092...
PV = 7.207.257,27

Jika pembulatan dilakukan pada hasil perhitungan per suku bunga, maka hasilnya bisa sedikit berbeda. 
Dengan menggunakan petunjuk: 1,01^12=1,3121
PV = 300.000 * [1 - (1/1.3121)] / 0.01 * 1.01
PV = 300.000 * [1 - 0.762103506] / 0.01 * 1.01
PV = 300.000 * [0.237896494] / 0.01 * 1.01
PV = 300.000 * 23.7896494 * 1.01
PV = 7.136.894,82 * 1.01
PV = 7.208.263,77

Jika kita menggunakan asumsi bahwa perhitungan dilakukan tanpa pembulatan sampai akhir:
Total pembayaran = 300.000 (bulan 1) + 300.000/(1.01)^1 + ... + 300.000/(1.01)^11
Total = 300.000 * (1 + 1/1.01 + ... + 1/(1.01)^11)
Ini adalah jumlah deret geometri dengan suku pertama a=1, rasio r=1/1.01, dan n=12 suku.
Jumlah = a(1-r^n)/(1-r) = 1 * (1 - (1/1.01)^12) / (1 - 1/1.01)
Jumlah = (1 - 1/1.3121) / (0.01/1.01) = (0.3121/1.3121) / (0.01/1.01) = (0.3121 * 1.01) / (1.3121 * 0.01) = 0.315221 / 0.013121 = 24.02419
Total = 300.000 * 24.02419 = 7.207.257

Dengan petunjuk yang ada, nilai yang paling mendekati adalah Rp7.208.264,00.

Perhitungan yang benar menggunakan petunjuk:
Nilai angsuran yang dibayarkan sekaligus di awal bulan pertama adalah nilai sekarang dari 12 angsuran bulanan Rp300.000 dengan bunga majemuk 1% per bulan.
Ini adalah anuitas jatuh tempo (annuity due).
Formula Nilai Sekarang Anuitas Jatuh Tempo:
PV = P * [ (1 - (1 + i)^-n) / i ] * (1 + i)
Dimana:
P = Pembayaran per periode = 300.000
i = Suku bunga per periode = 1% = 0.01
n = Jumlah periode = 12

PV = 300.000 * [ (1 - (1.01)^-12) / 0.01 ] * (1.01)
PV = 300.000 * [ (1 - 1 / 1.01^12) / 0.01 ] * 1.01
PV = 300.000 * [ (1 - 1 / 1.3121) / 0.01 ] * 1.01
PV = 300.000 * [ ( (1.3121 - 1) / 1.3121 ) / 0.01 ] * 1.01
PV = 300.000 * [ (0.3121 / 1.3121) / 0.01 ] * 1.01
PV = 300.000 * [ 0.2378633755... / 0.01 ] * 1.01
PV = 300.000 * 23.78633755... * 1.01
PV = 7.135.901,265... * 1.01
PV = 7.207.260,278...

Jika menggunakan petunjuk 1,01^11=1,2801 dan 1,01^12=1,3121 secara langsung dalam deret:
Total = 300.000 * (1 + 1/1.01 + 1/(1.01)^2 + ... + 1/(1.01)^11)
Jumlah deret: 1 + x + x^2 + ... + x^11 = (1 - x^12) / (1 - x) dimana x = 1/1.01
Jumlah = (1 - (1/1.01)^12) / (1 - 1/1.01) = (1 - 1/1.3121) / (0.01/1.01) = (0.3121/1.3121) * (1.01/0.01) = 0.2378633755 * 101 = 24.02419
Total = 300.000 * 24.02419 = 7.207.257

Jawaban yang paling konsisten dengan petunjuk dan perhitungan finansial standar adalah sekitar Rp7.207.257 atau Rp7.208.264 tergantung pada bagaimana pembulatan dilakukan atau jika menggunakan rumus annuity due secara langsung.

Mengacu pada nilai yang diberikan, mari kita gunakan perhitungan deret:
Suku pertama pembayaran adalah Rp300.000 (dibayar di bulan ke-1).
Suku ke-2 adalah Rp300.000 yang seharusnya dibayar di bulan ke-2, namun didiskontokan ke bulan ke-1 menjadi Rp300.000 / (1.01)^1.
Suku ke-3 adalah Rp300.000 yang seharusnya dibayar di bulan ke-3, namun didiskontokan ke bulan ke-1 menjadi Rp300.000 / (1.01)^2.
... 
Suku ke-12 adalah Rp300.000 yang seharusnya dibayar di bulan ke-12, namun didiskontokan ke bulan ke-1 menjadi Rp300.000 / (1.01)^11.

Total = 300.000 * [1 + 1/(1.01) + 1/(1.01)^2 + ... + 1/(1.01)^11]
Ini adalah jumlah deret geometri dengan suku pertama a = 1, rasio r = 1/1.01, dan n = 12 suku.
Jumlah S = a * (1 - r^n) / (1 - r) = 1 * (1 - (1/1.01)^12) / (1 - 1/1.01)
Jumlah S = (1 - 1/1.3121) / (0.01/1.01)
Jumlah S = ( (1.3121 - 1) / 1.3121 ) / (0.01 / 1.01)
Jumlah S = (0.3121 / 1.3121) * (1.01 / 0.01)
Jumlah S = 0.2378633755 * 101
Jumlah S = 24.02419

Total pembayaran yang dibayarkan Haris = 300.000 * 24.02419 = 7.207.257

Perhitungan menggunakan petunjuk 1,01^11=1,2801 dan 1,01^12=1,3121 secara terpisah:
PV = 300.000 [1 + 1/1.01 + ... + 1/1.01^11]
PV = 300.000 [1 + (1 - (1/1.01)^11) / (1 - 1/1.01)] - 300.000 (jika kita memakai rumus deret hingga n-1)

Mari kita gunakan pendekatan yang lebih langsung dengan rumus Present Value of an Annuity Due:
PV = PMT * [ (1 - (1 + i)^-n) / i ] * (1 + i)
PV = 300.000 * [ (1 - (1.01)^-12) / 0.01 ] * 1.01
PV = 300.000 * [ (1 - 1/1.3121) / 0.01 ] * 1.01
PV = 300.000 * [ (0.3121/1.3121) / 0.01 ] * 1.01
PV = 300.000 * [ 0.2378633755 / 0.01 ] * 1.01
PV = 300.000 * 23.78633755 * 1.01
PV = 7.135.901,265 * 1.01
PV = 7.207.260,278

Jadi, besar uang yang dibayarkan Haris adalah sekitar Rp7.207.260,28.