Sisa pembagian P(x)=3x^3-2x^2+4x+11 dibagi x^2+2x bersisa

Sisa pembagiannya adalah 20x + 11.

Pembahasan

Untuk menentukan sisa pembagian P(x) = 3x^3 - 2x^2 + 4x + 11 oleh x^2 + 2x, kita dapat menggunakan metode pembagian polinomial atau teorema sisa.

Metode 1: Pembagian Polinomial

Kita akan membagi 3x^3 - 2x^2 + 4x + 11 dengan x^2 + 2x.

Langkah 1: Bagi suku pertama dari P(x) dengan suku pertama pembagi.
(3x^3) / (x^2) = 3x
Tulis 3x sebagai bagian dari hasil bagi.

Langkah 2: Kalikan hasil bagi (3x) dengan pembagi (x^2 + 2x).
3x * (x^2 + 2x) = 3x^3 + 6x^2

Langkah 3: Kurangkan hasil perkalian ini dari P(x).
(3x^3 - 2x^2 + 4x + 11) - (3x^3 + 6x^2) = -8x^2 + 4x + 11

Langkah 4: Ulangi proses dengan hasil pengurangan.
Bagi suku pertama hasil pengurangan (-8x^2) dengan suku pertama pembagi (x^2).
(-8x^2) / (x^2) = -8
Tulis -8 sebagai bagian dari hasil bagi.

Langkah 5: Kalikan hasil bagi (-8) dengan pembagi (x^2 + 2x).
-8 * (x^2 + 2x) = -8x^2 - 16x

Langkah 6: Kurangkan hasil perkalian ini dari hasil pengurangan sebelumnya.
(-8x^2 + 4x + 11) - (-8x^2 - 16x) = -8x^2 + 4x + 11 + 8x^2 + 16x = 20x + 11

Karena derajat dari hasil pengurangan (20x + 11) lebih kecil dari derajat pembagi (x^2 + 2x), maka 20x + 11 adalah sisanya.

Metode 2: Teorema Sisa (dengan penyesuaian)
Teorema sisa biasanya berlaku untuk pembagian dengan polinomial berderajat satu (seperti x-a). Namun, kita bisa mengadaptasinya.
Jika P(x) dibagi oleh D(x), maka P(x) = Q(x)D(x) + R(x), di mana derajat R(x) < derajat D(x).
Dalam kasus ini, D(x) = x^2 + 2x = x(x+2). Derajat D(x) adalah 2, jadi R(x) akan berderajat paling tinggi 1, yaitu R(x) = ax + b.

P(x) = Q(x)(x^2 + 2x) + (ax + b)

Kita tahu bahwa jika x^2 + 2x = 0, maka P(x) = ax + b.
 x^2 + 2x = 0 => x(x+2) = 0
 Ini berarti x = 0 atau x = -2.

Jika x = 0:
P(0) = 3(0)^3 - 2(0)^2 + 4(0) + 11 = 11
Juga, P(0) = Q(0)(0^2 + 2*0) + (a*0 + b) = Q(0)*0 + b = b.
Jadi, b = 11.

Jika x = -2:
P(-2) = 3(-2)^3 - 2(-2)^2 + 4(-2) + 11
P(-2) = 3(-8) - 2(4) - 8 + 11
P(-2) = -24 - 8 - 8 + 11
P(-2) = -40 + 11 = -29

Juga, P(-2) = Q(-2)((-2)^2 + 2*(-2)) + (a*(-2) + b)
P(-2) = Q(-2)(4 - 4) + (-2a + b)
P(-2) = Q(-2)*0 + (-2a + b)
P(-2) = -2a + b

Karena P(-2) = -29 dan b = 11, kita dapatkan:
-29 = -2a + 11
-29 - 11 = -2a
-40 = -2a
a = 20

Jadi, sisa pembagiannya adalah R(x) = ax + b = 20x + 11.

Kedua metode memberikan hasil yang sama.