Tentukan hasil bagi dan setiap sisa dari pembagian berikut

Hasil bagi: 27x^3 + 9x^2 + 3x + 1. Sisa: 0.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan pembagian polinomial (81x^4 - 1) dengan (3x - 1) menggunakan bagan Horner, pertama-tama kita perlu mengubah pembagi (3x - 1) menjadi bentuk (x - c). Kita dapat melakukannya dengan membagi baik pembilang maupun pembagi dengan 3.

Pembagi menjadi: (3x - 1) / 3 = x - 1/3. Jadi, c = 1/3.

Pembilang menjadi: (81x^4 - 1) / 3 = 27x^4 - 1/3.

Sekarang kita dapat menggunakan bagan Horner dengan koefisien pembilang (27x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 0x - 1) dan nilai c = 1/3.

Bagan Horner:

   1/3 | 27   0   0   0   -1
     |      9   3   1   1/3
     ---------------------
       27   9   3   1   -2/3

Dari bagan Horner:
Koefisien hasil bagi adalah 27, 9, 3, 1.
Jadi, hasil bagi sementara adalah 27x^3 + 9x^2 + 3x + 1.
Sisa sementara adalah -2/3.

Karena kita membagi pembilang dengan 3 di awal, kita perlu mengalikan hasil bagi sementara dengan 3 dan membagi sisa sementara dengan 3 untuk mendapatkan hasil bagi dan sisa yang sebenarnya.

Hasil bagi = (27x^3 + 9x^2 + 3x + 1) * 3 = 81x^3 + 27x^2 + 9x + 3.
Sisa = (-2/3) * 3 = -2.

Namun, metode bagan Horner secara langsung berlaku untuk pembagi dalam bentuk (x-c). Jika pembaginya adalah (ax-b), maka hasil baginya harus dibagi lagi dengan 'a'.

Mari kita gunakan pembagi asli (3x - 1), yang berarti akar pembaginya adalah x = 1/3.
Koefisien dari 81x^4 - 1 adalah: 81, 0, 0, 0, -1.

   1/3 | 81   0    0    0   -1
     |      27   9    3    1
     ----------------------
       81   27   9    3    0

Ini menunjukkan bahwa jika kita membagi dengan (x - 1/3), hasil baginya adalah 81x^3 + 27x^2 + 9x + 3 dengan sisa 0. Ini salah karena 81x^4-1 tidak habis dibagi 3x-1.

Mari kita lakukan pembagian polinomial standar:

        27x^3 + 9x^2 + 3x + 1
      _____________________
3x - 1 | 81x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 0x - 1
       -(81x^4 - 27x^3)
       _____________________
             27x^3 + 0x^2
            -(27x^3 - 9x^2)
            _____________________
                   9x^2 + 0x
                  -(9x^2 - 3x)
                  _____________________
                         3x - 1
                        -(3x - 1)
                        ________
                              0

Sepertinya ada kesalahan dalam soal asli atau dalam pemahaman metode bagan Horner untuk kasus ini. Bagan Horner paling efisien untuk pembagi linear (x-c). Untuk pembagi (ax-b), kita bisa menggunakan substitusi atau pembagian panjang.

Jika kita kembali ke metode bagan Horner dengan c = 1/3 dan koefisien pembilang 81, 0, 0, 0, -1:

   1/3 | 81   0    0    0   -1
     |      27   9    3    1
     ----------------------
       81   27   9    3    0

Ini berarti 81x^4 - 1 = (x - 1/3)(81x^3 + 27x^2 + 9x + 3) + 0.
Kita tahu bahwa 81x^4 - 1 = (3x - 1)(27x^3 + 9x^2 + 3x + 1).
Jadi, 81x^4 - 1 = 3(x - 1/3)(27x^3 + 9x^2 + 3x + 1).
81x^4 - 1 = (x - 1/3) * 3 * (27x^3 + 9x^2 + 3x + 1).
81x^4 - 1 = (x - 1/3)(81x^3 + 27x^2 + 9x + 3).

Ini menunjukkan bahwa jika kita menerapkan bagan Horner untuk akar pembagi (1/3), kita mendapatkan hasil bagi (81x^3 + 27x^2 + 9x + 3) dan sisa 0. Namun, ini adalah hasil bagi jika pembaginya adalah (x - 1/3). Karena pembaginya adalah (3x - 1), yang merupakan 3 kali (x - 1/3), maka hasil bagi yang sebenarnya adalah hasil bagi Horner dibagi dengan 3.

Hasil bagi sebenarnya = (81x^3 + 27x^2 + 9x + 3) / 3 = 27x^3 + 9x^2 + 3x + 1.
Sisa sebenarnya adalah 0.

Jadi, hasil bagi adalah 27x^3 + 9x^2 + 3x + 1 dan sisanya adalah 0.