Suatu barisan geometri mempunyai rasio positif. Jika suku

Rasio barisan tersebut adalah √2 / 2.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu memahami konsep barisan geometri. Barisan geometri adalah barisan bilangan di mana setiap suku setelah suku pertama diperoleh dengan mengalikan suku sebelumnya dengan suatu bilangan tetap yang disebut rasio (r).

Diketahui:
- Suku ke-3 (U3) = 2p
- Suku ke-2 (U2) - Suku ke-4 (U4) = p√2
- Rasio (r) positif

Dalam barisan geometri, suku ke-n (Un) dirumuskan sebagai Un = a * r^(n-1), di mana 'a' adalah suku pertama.

Maka, kita dapat tulis:
U3 = a * r^(3-1) = a * r^2 = 2p  (Persamaan 1)
U2 = a * r^(2-1) = a * r
U4 = a * r^(4-1) = a * r^3

Substitusikan U2 dan U4 ke dalam persamaan kedua:
a*r - a*r^3 = p√2
a*r(1 - r^2) = p√2  (Persamaan 2)

Dari Persamaan 1, kita bisa menyatakan 'a' sebagai a = 2p / r^2. Substitusikan nilai 'a' ini ke dalam Persamaan 2:
(2p / r^2) * r * (1 - r^2) = p√2
(2p / r) * (1 - r^2) = p√2

Bagi kedua sisi dengan p (karena p tidak mungkin nol agar rasio terdefinisi):
(2 / r) * (1 - r^2) = √2
2(1 - r^2) = r√2
2 - 2r^2 = r√2
2r^2 + r√2 - 2 = 0

Ini adalah persamaan kuadrat dalam bentuk ar^2 + br + c = 0, dengan a=2, b=√2, dan c=-2.
Kita gunakan rumus kuadrat untuk mencari nilai r:
r = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a
r = [-√2 ± sqrt((√2)^2 - 4 * 2 * (-2))] / (2 * 2)
r = [-√2 ± sqrt(2 + 16)] / 4
r = [-√2 ± sqrt(18)] / 4
r = [-√2 ± 3√2] / 4

Kita mendapatkan dua kemungkinan nilai r:
1) r = (-√2 + 3√2) / 4 = 2√2 / 4 = √2 / 2
2) r = (-√2 - 3√2) / 4 = -4√2 / 4 = -√2

Karena diketahui rasio barisan tersebut positif, maka rasio yang memenuhi adalah r = √2 / 2.