Suatu kapal pesiar yang ditempatkan pada koordinat (5,12)

a. Persamaan radar: (x-5)^2 + (y-12)^2 = 2025. b. Radar tidak dapat mendeteksi karena jaraknya (sekitar 46.84 km) lebih dari jangkauan (45 km).

Pembahasan

a. Persamaan yang memodelkan jangkauan maksimum dari radar kapal tersebut:

Kapal pesiar berada pada koordinat (5, 12) dan radar memiliki jangkauan 45 km ke segala arah. Jangkauan radar ini membentuk sebuah lingkaran dengan pusat di lokasi kapal pesiar dan jari-jari sebesar jangkauan radar.

Persamaan lingkaran dengan pusat $(h, k)$ dan jari-jari $r$ adalah $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$.
Dalam kasus ini, pusat $(h, k) = (5, 12)$ dan jari-jari $r = 45$ km.

Maka, persamaan yang memodelkan jangkauan maksimum radar adalah:
$$(x-5)^2 + (y-12)^2 = 45^2$$
$$(x-5)^2 + (y-12)^2 = 2025$$

b. Menentukan apakah radar tersebut dapat mendeteksi kapal lain pada koordinat (50, 25) menggunakan rumus jarak:

Untuk menentukan apakah radar dapat mendeteksi kapal lain, kita perlu menghitung jarak antara kapal pesiar (pusat radar) dan kapal lain, lalu membandingkannya dengan jangkauan radar (jari-jari).

Rumus jarak antara dua titik $(x_1, y_1)$ dan $(x_2, y_2)$ adalah: $$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$$ 
Dalam kasus ini:
Titik 1 (kapal pesiar) = $(x_1, y_1) = (5, 12)$
Titik 2 (kapal lain) = $(x_2, y_2) = (50, 25)$

Jarak $d$ adalah:
$$d = \sqrt{(50-5)^2 + (25-12)^2}$$ 
$$d = \sqrt{(45)^2 + (13)^2}$$ 
$$d = \sqrt{2025 + 169}$$ 
$$d = \sqrt{2194}$$ 

Sekarang kita perlu membandingkan jarak $d$ dengan jangkauan radar, yaitu 45 km. Untuk membandingkan, kita bisa mengkuadratkan kedua nilai tersebut agar lebih mudah:
$d^2 = 2194$
Jangkauan radar kuadrat = $45^2 = 2025$

Karena $d^2 = 2194$ lebih besar dari $45^2 = 2025$, ini berarti jarak $d$ lebih besar dari jangkauan radar 45 km ($d = \sqrt{2194} \approx 46.84$ km).

Jadi, radar tersebut TIDAK DAPAT mendeteksi kapal lain pada koordinat (50, 25) karena jaraknya melebihi jangkauan maksimum radar.