Suatu kubus memiliki luas permukaan 729 cm^2. Tentukan

\((9\sqrt{2})/2\) cm

Pembahasan

Untuk menentukan jarak antara bidang AFH dan BDG pada sebuah kubus, kita perlu memahami orientasi bidang-bidang tersebut dan sifat-sifat kubus.

Misalkan panjang rusuk kubus adalah \(s\).

Bidang AFH dibentuk oleh titik-titik sudut A, F, dan H. Bidang ini memotong kubus secara diagonal.
Bidang BDG dibentuk oleh titik-titik sudut B, D, dan G. Bidang ini juga memotong kubus secara diagonal.

Kedua bidang ini sejajar satu sama lain. Jarak antara dua bidang sejajar dalam kubus dapat dihitung dengan mempertimbangkan diagonal ruang atau dengan menggunakan proyeksi.

Cara yang lebih mudah untuk memvisualisasikan ini adalah dengan melihat kubus dari sudut pandang tertentu. Bidang AFH dan BDG adalah bidang diagonal yang membagi kubus menjadi dua bagian yang sama besar. Jarak antara kedua bidang ini sama dengan jarak dari salah satu rusuk yang menghubungkan kedua bidang tersebut.

Contohnya, jarak antara bidang AFH dan BDG dapat diwakili oleh jarak antara titik B ke bidang AFH, atau jarak antara titik F ke bidang BDG.

Jika kita memproyeksikan kubus ke salah satu diagonal ruangnya (misalnya AG), maka bidang AFH dan BDG akan tampak sebagai dua garis yang sejajar. Jarak antara garis-garis ini pada proyeksi tersebut berhubungan dengan jarak antara bidang asli.

Untuk kubus dengan panjang rusuk \(s\), jarak antara bidang diagonal yang berhadapan (seperti AFH dan BDG) adalah \(s / \sqrt{3}\) jika kita mempertimbangkan jarak tegak lurus antar keduanya melalui pusat kubus. Namun, jika yang dimaksud adalah jarak antara rusuk yang sejajar dan tegak lurus terhadap kedua bidang tersebut, mari kita pertimbangkan:

Salah satu cara menghitungnya adalah dengan mengetahui bahwa jarak antara bidang AFH dan BDG sama dengan jarak dari salah satu titik sudut ke bidang diagonal yang berhadapan dengannya. Misalnya, jarak dari titik B ke bidang AFH.

Misalkan kubus berada dalam sistem koordinat dengan A=(0,0,0), B=(s,0,0), D=(0,s,0), E=(0,0,s), C=(s,s,0), F=(s,0,s), G=(s,s,s), H=(0,s,s).

Bidang AFH melalui titik A(0,0,0), F(s,0,s), H(0,s,s). Vektor normal bidang AFH dapat dihitung dari vektor AF = (s, 0, s) dan AH = (0, s, s).

AF x AH = \(\begin{vmatrix} i & j & k \\ s & 0 & s \\ 0 & s & s \end{vmatrix}\) = i(0-s^2) - j(s^2-0) + k(s^2-0) = \(-s^2, -s^2, s^2\). Normalnya adalah \((-1, -1, 1)\).
Persamaan bidang AFH adalah \(-x - y + z = 0\) atau \(x + y - z = 0\).

Bidang BDG melalui titik B(s,0,0), D(0,s,0), G(s,s,s). Vektor BD = (-s, s, 0) dan BG = (0, s, s).

BD x BG = \(\begin{vmatrix} i & j & k \\ -s & s & 0 \\ 0 & s & s \end{vmatrix}\) = i(s^2-0) - j(-s^2-0) + k(-s^2-0) = \((s^2, s^2, -s^2)\). Normalnya adalah \((1, 1, -1)\).
Persamaan bidang BDG adalah \(x + y - z = s\).

Kedua bidang ini sejajar karena normalnya sejajar (satu adalah negatif dari yang lain).

Jarak antara dua bidang sejajar \(Ax + By + Cz = D1\) dan \(Ax + By + Cz = D2\) adalah \(|D1 - D2| / \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}\).

Untuk bidang AFH: \(x + y - z = 0\) (\(A=1, B=1, C=-1, D1=0\))
Untuk bidang BDG: \(x + y - z = s\) (\(A=1, B=1, C=-1, D2=s\))

Jarak = \(|0 - s| / \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2}\) = \(|-s| / \sqrt{1 + 1 + 1}\) = \(s / \sqrt{3}\).

Jadi, jarak antara bidang AFH dan BDG adalah \(s / \sqrt{3}\).

Jika luas permukaan kubus adalah 729 cm^2, maka:
Luas permukaan kubus = \(6s^2\)
\(6s^2 = 729\)
\(s^2 = 729 / 6\)
\(s^2 = 121.5\)
\(s = \sqrt{121.5}\) = \(\sqrt{243/2}\) = \((9\sqrt{3}) / \sqrt{2}\) = \((9\sqrt{6}) / 2\).

Maka jaraknya adalah:
Jarak = \(s / \sqrt{3}\) = \(((9\sqrt{6}) / 2) / \sqrt{3}\) = \((9\sqrt{6}) / (2\sqrt{3})\) = \((9\sqrt{2}) / 2\).

Mari kita cek lagi. Bidang AFH dan BDG adalah bidang diagonal yang sejajar. Jarak antara mereka adalah jarak dari salah satu rusuk yang tegak lurus terhadap kedua bidang tersebut. Rusuk-rusuk seperti AB, CD, EF, HG sejajar dengan sumbu x, dan rusuk-rusuk seperti AD, BC, EH, FG sejajar dengan sumbu y, dan AE, BF, CG, DH sejajar dengan sumbu z.

Perhatikan kubus. Bidang AFH dan BDG sejajar. Jarak antara keduanya adalah jarak dari salah satu rusuk yang menghubungkan kedua bidang tersebut, yang tegak lurus terhadap kedua bidang.

Cara lain adalah melihat proyeksi. Jika kita memotong kubus dengan bidang yang melalui rusuk AE dan CG, bidang ini akan sejajar dengan bidang AFH dan BDG. Jarak antara AFH dan BDG sama dengan jarak antara titik B ke bidang AFH.

Misalkan panjang rusuk adalah s.
Luas permukaan = 729 cm^2.
\(6s^2 = 729\)
\(s^2 = 729/6 = 243/2\)
\(s = \sqrt{243/2} = \sqrt{81 \times 3 / 2} = 9\sqrt{3/2} = (9\sqrt{6})/2\).

Jarak antara bidang diagonal yang sejajar pada kubus adalah sama dengan panjang rusuk dibagi akar 3, yaitu \(s/\sqrt{3}\).

Jarak = \(s / \sqrt{3}\) = \(((9\sqrt{6})/2) / \sqrt{3}\) = \((9\sqrt{6}) / (2\sqrt{3})\) = \((9\sqrt{2}) / 2\).

Mari kita gunakan contoh sederhana. Kubus satuan (s=1). Luas permukaan = 6. Diagonal ruang = \(\sqrt{3}\). Bidang AFH dan BDG memotong diagonal ruang di titik tengahnya.

Jarak antara bidang AFH dan BDG sama dengan jarak dari titik tengah kubus ke salah satu bidang tersebut. Jarak dari pusat kubus ke setiap sisi adalah \(s/2\). Namun, ini bukan jarak antar bidang diagonal.

Perhatikan bidang diagonal ACGE dan BDFH. Jarak antara kedua bidang ini adalah \(s\).

Bidang AFH dan BDG adalah jenis bidang diagonal yang berbeda. Bidang-bidang ini sejajar.

Jarak antara bidang AFH dan BDG adalah sama dengan jarak dari titik B ke bidang AFH.

Sebuah pendekatan yang lebih intuitif: Bayangkan kubus. Bidang AFH dan BDG adalah bidang-bidang yang melintasi kubus dari sudut ke sudut yang berlawanan. Jarak antara kedua bidang ini sama dengan panjang rusuk kubus dibagi \(\sqrt{3}\).

Luas permukaan = 729 cm^2
\(6s^2 = 729\)
\(s^2 = 729/6 = 243/2\)
\(s = \sqrt{243/2}\)

Jarak = \(s / \sqrt{3}\) = \(\sqrt{243/2} / \sqrt{3}\) = \(\sqrt{243 / (2 \times 3)}\) = \(\sqrt{243 / 6}\) = \(\sqrt{81/2}\) = \(9 / \sqrt{2}\) = \((9\sqrt{2})/2\).

Jadi, jarak antara bidang AFH dan BDG adalah \((9\sqrt{2})/2\) cm.