Untuk tiap SPLDV di bawah ini, carilah banyaknya anggota

Tak hingga banyaknya anggota. Himpunan penyelesaiannya adalah semua pasangan (x, y) yang memenuhi x + y = 1.

Pembahasan

Kita diberikan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) sebagai berikut:
1) \(2x + 2y = 2\)
2) \(x + y = 1\)

**Analisis Banyaknya Anggota Himpunan Penyelesaian:**

Untuk menentukan banyaknya anggota himpunan penyelesaian, kita bisa menyederhanakan salah satu persamaan atau membandingkan kedua persamaan tersebut.

Jika kita sederhanakan persamaan (1) dengan membagi kedua ruas dengan 2, kita mendapatkan:
\((2x + 2y) / 2 = 2 / 2\)
\(x + y = 1\)

Persamaan hasil penyederhanaan ini identik dengan persamaan (2). Ini berarti kedua persamaan tersebut merepresentasikan garis yang sama. Ketika dua persamaan dalam SPLDV merepresentasikan garis yang sama, maka sistem tersebut memiliki tak hingga banyaknya anggota himpunan penyelesaian, karena setiap titik pada garis tersebut merupakan solusi.

Jadi, sistem ini memiliki anggota himpunan penyelesaian yang tak hingga banyaknya.

**Mencari Himpunan Penyelesaian dengan Berbagai Metode:**

Karena sistem ini memiliki tak hingga banyaknya solusi, kita akan mengekspresikan solusinya dalam bentuk parameter.

*   **Metode Grafik:**
    Kedua persamaan, \(2x + 2y = 2\) dan \(x + y = 1\), setelah disederhanakan menjadi \(x + y = 1\), merepresentasikan garis lurus yang sama. Untuk menggambarkannya, kita bisa mencari dua titik yang dilalui garis tersebut:
    *   Jika \(x=0\), maka \(0 + y = 1\) \(\implies\) \(y=1\). Titik: (0, 1).
    *   Jika \(y=0\), maka \(x + 0 = 1\) \(\implies\) \(x=1\). Titik: (1, 0).
    Menggambar kedua garis ini pada sistem koordinat Kartesius akan menunjukkan bahwa kedua garis tersebut berimpit. Semua titik pada garis \(x + y = 1\) adalah solusi.

*   **Metode Substitusi:**
    Dari persamaan (2), kita bisa mengekspresikan \(y\) dalam bentuk \(x\) (atau sebaliknya):
    \(y = 1 - x\).
    Substitusikan ekspresi \(y\) ini ke dalam persamaan (1):
    \(2x + 2(1 - x) = 2\)
    \(2x + 2 - 2x = 2\)
    \(2 = 2\)
    Karena kita mendapatkan pernyataan yang selalu benar (\(2=2\)) dan tidak ada variabel \(x\) atau \(y\) yang tersisa, ini mengkonfirmasi bahwa ada tak hingga banyaknya solusi. Solusinya adalah semua pasangan \((x, y)\) yang memenuhi \(y = 1 - x\).

*   **Metode Eliminasi:**
    Kita gunakan kedua persamaan asli:
    1) \(2x + 2y = 2\)
    2) \(x + y = 1\)
    Kalikan persamaan (2) dengan 2 agar koefisien \(y\) sama dengan persamaan (1):
    \(2(x + y) = 2(1)\)
    \(2x + 2y = 2\)
    Sekarang kita punya:
    \(2x + 2y = 2\)
    \(2x + 2y = 2\)
    Jika kita coba eliminasi (misalnya dengan mengurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama):
    \((2x + 2y) - (2x + 2y) = 2 - 2\)
    \(0 = 0\)
    Hasil \(0=0\) adalah pernyataan yang selalu benar dan menunjukkan bahwa kedua persamaan tersebut bergantung satu sama lain, sehingga terdapat tak hingga banyaknya solusi.

**Kesimpulan:**
*   **Banyaknya anggota himpunan penyelesaian:** Tak hingga banyaknya.
*   **Himpunan penyelesaian:** \(\{ (x, y) \mid x + y = 1, x, y \in \mathbb{R} \ \text{atau}\ \ y = 1 - x \ \text{atau}\ \ x = 1 - y \ \}\). Dapat juga ditulis sebagai \(\{ (x, 1-x) \mid x \in \mathbb{R} \)\) atau \(\{ (1-y, y) \mid y \in \mathbb{R} \)\).