Kelas 12Kelas 11mathKalkulusAljabar
Suatu lapangan berbentuk persegi panjang akan dipagari
Pertanyaan
Suatu lapangan berbentuk persegi panjang akan dipagari sekelilingnya. Lapangan itu dibagi dua sama besar dengan memberi pagar lainnya yang sejajar dengan lebarnya. Jika pagar yang mengelilingi lapangan tersebut dibuat dengan biaya Rp2.500,00 per meter, dan pagar yang membagi dua lapangan dibuat dengan biaya Rp 1.000,00 per meter, berapa ukuran lapangan (dengan luas maksimum) yang dapat dipagari seperti di atas dengan jumlah biaya Rp480.000,00?
Solusi
Verified
Ukuran lapangan adalah panjang 48 meter dan lebar 40 meter.
Pembahasan
Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mencari ukuran lapangan berbentuk persegi panjang yang memberikan luas maksimum dengan batasan biaya tertentu. Misalkan panjang lapangan adalah p meter dan lebarnya adalah l meter. Keliling lapangan adalah 2p + 2l. Biaya untuk pagar keliling adalah Rp2.500,00 per meter, sehingga total biaya untuk pagar keliling adalah 2.500(2p + 2l) = 5.000p + 5.000l. Lapangan dibagi dua sama besar dengan pagar yang sejajar dengan lebarnya. Panjang pagar pembagi ini adalah l meter. Biaya untuk pagar pembagi ini adalah Rp1.000,00 per meter, sehingga total biaya untuk pagar pembagi adalah 1.000l. Jumlah total biaya adalah Rp480.000,00. Maka, kita dapat menulis persamaan: (5.000p + 5.000l) + 1.000l = 480.000 5.000p + 6.000l = 480.000 Bagi kedua sisi dengan 1.000: 5p + 6l = 480 Kita ingin memaksimalkan luas lapangan, L = p * l. Dari persamaan biaya, kita dapat mengekspresikan p dalam l: 5p = 480 - 6l p = (480 - 6l) / 5 p = 96 - 1.2l Substitusikan nilai p ke dalam rumus luas: L = (96 - 1.2l) * l L = 96l - 1.2l^2 Untuk mencari luas maksimum, kita perlu mencari turunan pertama L terhadap l dan menyamakannya dengan nol: dL/dl = 96 - 2.4l 0 = 96 - 2.4l 2.4l = 96 l = 96 / 2.4 l = 40 meter Sekarang, substitusikan nilai l kembali ke dalam persamaan p: p = 96 - 1.2 * 40 p = 96 - 48 p = 48 meter Jadi, ukuran lapangan dengan luas maksimum adalah panjang 48 meter dan lebar 40 meter. Luas maksimumnya adalah 48 * 40 = 1920 meter persegi.
Topik: Optimasi, Fungsi Kuadrat
Section: Maksimum Dan Minimum Fungsi
Apakah jawaban ini membantu?