Suatu pabrik farmasi menghasilkan dua jenis kapsul obat flu

Membeli 2 kapsul Fluin dan 8 kapsul Fluon.

Pembahasan

Ini adalah masalah program linear yang bertujuan untuk meminimalkan biaya pembelian kapsul obat flu. Kita perlu menentukan jumlah kapsul Fluin dan Fluon yang harus dibeli.

Variabel:
Misalkan F adalah jumlah kapsul Fluin yang dibeli.
Misalkan N adalah jumlah kapsul Fluon yang dibeli.

Tujuan:
Minimalkan biaya total Z = 500F + 600N

Kendala:
Berdasarkan Tabel 2.6 dan kebutuhan dokter:

1. Kapsul Aspirin:
   2F + 2N >= 12  (grain)
   Disederhanakan: F + N >= 6

2. Kapsul Bikarbonat:
   5F + 8N >= 74  (grain)

3. Kapsul Kodein:
   4F + 2N >= 24  (grain)
   Disederhanakan: 2F + N >= 12

4. Non-negativitas:
   F >= 0, N >= 0

Kita perlu mencari nilai F dan N yang memenuhi semua kendala ini dan meminimalkan Z.

Langkah-langkah penyelesaian:
1. Gambarkan daerah yang memenuhi kendala (daerah layak).
2. Tentukan titik-titik sudut (vertex) dari daerah layak.
3. Substitusikan setiap titik sudut ke dalam fungsi tujuan Z = 500F + 600N untuk mencari nilai minimum.

Mari kita cari titik potong antar garis kendala:

*   F + N = 6
*   5F + 8N = 74
*   2F + N = 12

Dari (1), N = 6 - F. Substitusikan ke (3):
2F + (6 - F) = 12
F + 6 = 12
F = 6
Jika F = 6, maka N = 6 - 6 = 0.
Titik potong (6, 0).
Cek di (2): 5(6) + 8(0) = 30. 30 < 74. Titik (6, 0) tidak memenuhi kendala 2.

Dari (3), N = 12 - 2F. Substitusikan ke (1):
F + (12 - 2F) = 6
-F + 12 = 6
-F = -6
F = 6
Jika F = 6, maka N = 12 - 2(6) = 0. Titik potong (6, 0). Sama seperti sebelumnya, tidak memenuhi kendala 2.

Dari (3), N = 12 - 2F. Substitusikan ke (2):
5F + 8(12 - 2F) = 74
5F + 96 - 16F = 74
-11F = 74 - 96
-11F = -22
F = 2
Jika F = 2, maka N = 12 - 2(2) = 12 - 4 = 8.
Titik potong (2, 8).
Cek di (1): 2 + 8 = 10. 10 >= 6. Memenuhi.
Titik sudut yang mungkin: (2, 8).

Sekarang kita perlu menemukan titik potong antara F + N = 6 dan 5F + 8N = 74.
Dari F + N = 6, N = 6 - F.
5F + 8(6 - F) = 74
5F + 48 - 8F = 74
-3F = 74 - 48
-3F = 26
F = -26/3. Ini tidak valid karena F harus non-negatif.

Kita juga perlu titik potong antara F + N = 6 dan sumbu F (N=0) dan sumbu N (F=0).
Jika N=0, F=6. Titik (6,0). Kendala 2: 5(6)+8(0)=30 < 74 (tidak memenuhi).
Jika F=0, N=6. Titik (0,6). Kendala 2: 5(0)+8(6)=48 < 74 (tidak memenuhi).

Sekarang kita perlu menemukan titik potong antara 2F + N = 12 dan 5F + 8N = 74.
Dari 2F + N = 12, N = 12 - 2F.
5F + 8(12 - 2F) = 74
5F + 96 - 16F = 74
-11F = -22
F = 2.
N = 12 - 2(2) = 8.
Titik (2, 8). Kita sudah punya ini.

Titik potong antara 2F + N = 12 dan sumbu F (N=0).
2F + 0 = 12 => F = 6. Titik (6, 0).

Titik potong antara 2F + N = 12 dan sumbu N (F=0).
2(0) + N = 12 => N = 12. Titik (0, 12).
Cek di kendala 1: 0+12=12 >= 6 (memenuhi).
Cek di kendala 2: 5(0)+8(12)=96 >= 74 (memenuhi).
Jadi, (0, 12) adalah titik sudut yang valid.

Titik potong antara 5F + 8N = 74 dan sumbu F (N=0).
5F + 0 = 74 => F = 74/5 = 14.8. Titik (14.8, 0).
Cek di kendala 1: 14.8+0=14.8 >= 6 (memenuhi).
Cek di kendala 3: 2(14.8)+0=29.6 >= 12 (memenuhi).
Jadi, (14.8, 0) adalah titik sudut yang valid.

Titik potong antara 5F + 8N = 74 dan sumbu N (F=0).
0 + 8N = 74 => N = 74/8 = 37/4 = 9.25. Titik (0, 9.25).
Cek di kendala 1: 0+9.25=9.25 >= 6 (memenuhi).
Cek di kendala 3: 2(0)+9.25=9.25 < 12 (tidak memenuhi).
Jadi, (0, 9.25) bukan titik sudut yang valid.

Titik potong antara F + N = 6 dan 2F + N = 12.
Kurangkan (1) dari (3):
(2F + N) - (F + N) = 12 - 6
F = 6.
N = 6 - F = 6 - 6 = 0.
Titik (6,0). Cek kendala 2: 5(6)+8(0)=30 < 74 (tidak memenuhi).

Titik potong antara F + N = 6 dan 5F + 8N = 74.
Dari F+N=6, N=6-F.
5F + 8(6-F) = 74
5F + 48 - 8F = 74
-3F = 26
F = -26/3 (tidak valid).

Titik-titik sudut yang valid dari daerah layak adalah:
1. Titik potong 5F + 8N = 74 dan 2F + N = 12: (2, 8).
   Cek kendala 1: 2+8=10 >= 6 (OK)
2. Titik potong 2F + N = 12 dan F-axis (N=0): (6, 0).
   Cek kendala 1: 6+0=6 >= 6 (OK)
   Cek kendala 2: 5(6)+8(0)=30 < 74 (Tidak OK, jadi (6,0) bukan titik sudut daerah layak).
3. Titik potong 5F + 8N = 74 dan F-axis (N=0): (14.8, 0).
   Cek kendala 1: 14.8+0=14.8 >= 6 (OK)
   Cek kendala 3: 2(14.8)+0=29.6 >= 12 (OK)
   Jadi, (14.8, 0) adalah titik sudut yang valid.
4. Titik potong 2F + N = 12 dan N-axis (F=0): (0, 12).
   Cek kendala 1: 0+12=12 >= 6 (OK)
   Cek kendala 2: 5(0)+8(12)=96 >= 74 (OK)
   Jadi, (0, 12) adalah titik sudut yang valid.

Titik-titik sudut yang perlu dievaluasi:
*   (2, 8)
*   (14.8, 0)
*   (0, 12)

Hitung biaya Z = 500F + 600N:
*   Untuk (2, 8):
    Z = 500(2) + 600(8) = 1000 + 4800 = 5800

*   Untuk (14.8, 0):
    Karena jumlah kapsul harus bilangan bulat, kita perlu mempertimbangkan titik-titik bulat di sekitar (14.8, 0) yang memenuhi kendala. Jika F=15, N=0:
    Kendala 1: 15+0 >= 6 (OK)
    Kendala 2: 5(15)+8(0) = 75 >= 74 (OK)
    Kendala 3: 2(15)+0 = 30 >= 12 (OK)
    Z = 500(15) + 600(0) = 7500

*   Untuk (0, 12):
    Z = 500(0) + 600(12) = 0 + 7200 = 7200

Nilai minimum biaya adalah 5800, yang dicapai ketika F = 2 dan N = 8.

Jadi, pasien harus membeli 2 kapsul Fluin dan 8 kapsul Fluon untuk meminimalkan ongkos pembelian total sambil memenuhi kebutuhan minimum untuk penyembuhan.