Suatu permainan mengisi ember dilakukan dengan peraturan

a. Pola barisan adalah Fibonacci: $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$. b. Terdapat 144 cara untuk mengisi 11 liter air.

Pembahasan

Permasalahan ini berkaitan dengan barisan Fibonacci.
Misalkan $a_n$ adalah banyaknya cara untuk mengisi ember dengan volume n liter.

Diketahui:
Untuk mengisi 1 liter air, ada 1 cara (menggunakan botol 1 liter).
$a_1 = 1$
Untuk mengisi 2 liter air, ada 2 cara (menggunakan dua botol 1 liter, atau satu botol 2 liter).
$a_2 = 2$
Untuk mengisi 3 liter air, ada 3 cara (1+1+1, 1+2, 2+1).
$a_3 = 3$

a. Menentukan pola barisan:
Perhatikan hubungan antara suku-suku:
$a_3 = a_2 + a_1 = 2 + 1 = 3$
Ini menunjukkan bahwa untuk mengisi n liter, cara terakhir bisa menggunakan botol 1 liter (meninggalkan n-1 liter yang harus diisi) atau menggunakan botol 2 liter (meninggalkan n-2 liter yang harus diisi).
Jadi, pola barisan ini adalah barisan Fibonacci, di mana setiap suku adalah jumlah dari dua suku sebelumnya: $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$.

b. Menentukan banyaknya cara untuk mengisi 11 liter air:
Kita perlu mencari $a_{11}$.
$a_1 = 1$
$a_2 = 2$
$a_3 = 3$
$a_4 = a_3 + a_2 = 3 + 2 = 5$
$a_5 = a_4 + a_3 = 5 + 3 = 8$
$a_6 = a_5 + a_4 = 8 + 5 = 13$
$a_7 = a_6 + a_5 = 13 + 8 = 21$
$a_8 = a_7 + a_6 = 21 + 13 = 34$
$a_9 = a_8 + a_7 = 34 + 21 = 55$
$a_{10} = a_9 + a_8 = 55 + 34 = 89$
$a_{11} = a_{10} + a_9 = 89 + 55 = 144$

Jadi, banyaknya cara untuk mengisi 11 liter air ke dalam ember adalah 144 cara.