Suatu perusahaan elektronik menghasilkan dua macam lampu

Untuk memaksimalkan keuntungan, perusahaan harus memproduksi 0 lampu bohlam biasa dan 50 lampu bohlam hemat energi.

Pembahasan

Untuk memaksimalkan keuntungan, kita perlu menentukan jumlah lampu bohlam biasa dan lampu bohlam hemat energi yang diproduksi setiap harinya. Mari kita definisikan:

Misalkan:
x = jumlah lampu bohlam biasa
y = jumlah lampu bohlam hemat energi

Fungsi keuntungan (Z) yang ingin dimaksimalkan adalah:
Z = 1500x + 3500y

Kendala berdasarkan waktu pemrosesan:

1. Proses Pertama:
Lampu bohlam biasa memerlukan 15 menit.
Lampu bohlam hemat energi memerlukan 18 menit.
Waktu kerja yang tersedia: 15 jam = 15 * 60 = 900 menit.
Kendala: 15x + 18y ≤ 900

2. Proses Kedua:
Lampu bohlam biasa memerlukan 10 menit.
Lampu bohlam hemat energi memerlukan 12 menit.
Waktu kerja yang tersedia: 10 jam = 10 * 60 = 600 menit.
Kendala: 10x + 12y ≤ 600

Kendala non-negatif:
x ≥ 0
y ≥ 0

Kita dapat menyederhanakan kendala:
15x + 18y ≤ 900  (bagi 3) -> 5x + 6y ≤ 300
10x + 12y ≤ 600  (bagi 2) -> 5x + 6y ≤ 300

Perhatikan bahwa kedua kendala proses menyederhanakan menjadi kendala yang sama: 5x + 6y ≤ 300. Ini berarti kita hanya perlu mempertimbangkan satu kendala dari waktu pemrosesan tersebut.

Sekarang kita perlu mencari titik-titik pojok dari daerah yang memenuhi kendala:

Titik 1: Perpotongan sumbu x dan garis 5x + 6y = 300
Jika y = 0, maka 5x = 300 => x = 60. Titik: (60, 0)

Titik 2: Perpotongan sumbu y dan garis 5x + 6y = 300
Jika x = 0, maka 6y = 300 => y = 50. Titik: (0, 50)

Titik 3: Perpotongan x=0 dan y=0. Titik: (0, 0)

Sekarang kita evaluasi fungsi keuntungan Z = 1500x + 3500y pada titik-titik pojok tersebut:

Pada (0, 0): Z = 1500(0) + 3500(0) = 0
Pada (60, 0): Z = 1500(60) + 3500(0) = 90000
Pada (0, 50): Z = 1500(0) + 3500(50) = 175000

Untuk menemukan solusi optimal, kita perlu memeriksa apakah ada titik lain yang relevan. Karena kedua kendala menjadi sama, kita hanya perlu mempertimbangkan garis 5x + 6y = 300. Nilai keuntungan akan meningkat seiring dengan meningkatnya x dan y. Oleh karena itu, titik pojok yang memberikan keuntungan terbesar adalah (0, 50).

Namun, mari kita periksa kembali apakah ada batasan lain yang terabaikan atau jika ada metode yang lebih baik. Dalam kasus program linear, kita mencari nilai maksimum di salah satu titik pojok. Dalam kasus ini, kedua kendala menyederhanakan menjadi satu garis yang sama, yang berarti daerah layak adalah segitiga yang dibatasi oleh sumbu x, sumbu y, dan garis 5x + 6y = 300.

Dengan menganalisis nilai Z pada titik-titik pojok:
(0,0) -> Z=0
(60,0) -> Z=90.000
(0,50) -> Z=175.000

Nilai keuntungan maksimum adalah Rp175.000,00 ketika perusahaan memproduksi 0 lampu bohlam biasa dan 50 lampu bohlam hemat energi.

Perhitungan Ulang untuk Memastikan:
*Produksi 0 lampu bohlam biasa dan 50 lampu bohlam hemat energi:*
Proses 1: 15(0) + 18(50) = 900 menit (tepat 15 jam)
Proses 2: 10(0) + 12(50) = 600 menit (tepat 10 jam)
Keuntungan: 1500(0) + 3500(50) = Rp175.000,00

*Produksi 60 lampu bohlam biasa dan 0 lampu bohlam hemat energi:*
Proses 1: 15(60) + 18(0) = 900 menit (tepat 15 jam)
Proses 2: 10(60) + 12(0) = 600 menit (tepat 10 jam)
Keuntungan: 1500(60) + 3500(0) = Rp90.000,00

Jadi, untuk memaksimalkan keuntungan, perusahaan harus memproduksi 0 lampu bohlam biasa dan 50 lampu bohlam hemat energi.