Suatu variabel acak kontinu X yang memiliki nilai antara

Soal ini mengandung inkonsistensi matematis sehingga tidak dapat diselesaikan dengan benar.

Pembahasan

Untuk menghitung P(X < 6) dan P(X > 7) dari variabel acak kontinu X yang memiliki nilai antara 5 dan 8 dengan fungsi identitas f(x) = (3(2 + 3x))/4, kita perlu mengintegrasikan fungsi tersebut dalam rentang yang ditentukan.

Fungsi identitas (atau lebih tepatnya, fungsi kepadatan probabilitas kumulatif F(x)) diberikan oleh F(x) = (3(2 + 3x))/4 untuk 5 <= x <= 8.

Kita tahu bahwa P(X < a) = F(a) jika a berada dalam rentang distribusi.
Dan P(X > b) = 1 - F(b) jika b berada dalam rentang distribusi.

Untuk P(X < 6):
Karena 6 berada dalam rentang [5, 8], kita dapat langsung menggunakan F(6).
P(X < 6) = F(6) = (3 * (2 + 3 * 6)) / 4
P(X < 6) = (3 * (2 + 18)) / 4
P(X < 6) = (3 * 20) / 4
P(X < 6) = 60 / 4
P(X < 6) = 15

Namun, nilai probabilitas tidak bisa lebih dari 1. Ini menunjukkan bahwa f(x) yang diberikan bukanlah fungsi kepadatan probabilitas kumulatif (CDF), melainkan mungkin fungsi kepadatan probabilitas (PDF) yang perlu diintegralkan.

Jika f(x) adalah PDF, maka PDF harus diintegralkan untuk mendapatkan CDF. Namun, soal menyatakan "fungsi identitas yang dinyatakan oleh f(x)", yang biasanya merujuk pada CDF.

Mari kita asumsikan ada kesalahan interpretasi dan f(x) adalah PDF, dan kita perlu mencari konstanta normalisasi terlebih dahulu. Jika f(x) = c(3(2+3x))/4 adalah PDF, maka integral dari 5 sampai 8 harus sama dengan 1.
Integral dari 5 sampai 8 dari c * (6 + 9x) / 4 dx = 1
c/4 * Integral dari 5 sampai 8 dari (6 + 9x) dx = 1
c/4 * [6x + (9/2)x^2] dari 5 sampai 8 = 1
c/4 * [(6*8 + (9/2)*8^2) - (6*5 + (9/2)*5^2)] = 1
c/4 * [(48 + (9/2)*64) - (30 + (9/2)*25)] = 1
c/4 * [(48 + 9*32) - (30 + 225/2)] = 1
c/4 * [(48 + 288) - (60/2 + 225/2)] = 1
c/4 * [336 - 285/2] = 1
c/4 * [672/2 - 285/2] = 1
c/4 * [387/2] = 1
c = 8/387

Jadi, PDF adalah f(x) = (8/387) * (3(2+3x))/4 = (2/129)(6+9x).

Sekarang kita hitung P(X < 6) dengan mengintegrasikan PDF dari 5 sampai 6:
P(X < 6) = Integral dari 5 sampai 6 dari (2/129)(6+9x) dx
P(X < 6) = (2/129) * Integral dari 5 sampai 6 dari (6+9x) dx
P(X < 6) = (2/129) * [6x + (9/2)x^2] dari 5 sampai 6
P(X < 6) = (2/129) * [(6*6 + (9/2)*6^2) - (6*5 + (9/2)*5^2)]
P(X < 6) = (2/129) * [(36 + (9/2)*36) - (30 + (9/2)*25)]
P(X < 6) = (2/129) * [(36 + 9*18) - (30 + 225/2)]
P(X < 6) = (2/129) * [(36 + 162) - (60/2 + 225/2)]
P(X < 6) = (2/129) * [198 - 285/2]
P(X < 6) = (2/129) * [396/2 - 285/2]
P(X < 6) = (2/129) * [111/2]
P(X < 6) = 111/129
P(X < 6) = 37/43

Sekarang hitung P(X > 7). Ini sama dengan mengintegrasikan PDF dari 7 sampai 8:
P(X > 7) = Integral dari 7 sampai 8 dari (2/129)(6+9x) dx
P(X > 7) = (2/129) * [6x + (9/2)x^2] dari 7 sampai 8
P(X > 7) = (2/129) * [(6*8 + (9/2)*8^2) - (6*7 + (9/2)*7^2)]
P(X > 7) = (2/129) * [(48 + (9/2)*64) - (42 + (9/2)*49)]
P(X > 7) = (2/129) * [(48 + 9*32) - (42 + 441/2)]
P(X > 7) = (2/129) * [(48 + 288) - (84/2 + 441/2)]
P(X > 7) = (2/129) * [336 - 525/2]
P(X > 7) = (2/129) * [672/2 - 525/2]
P(X > 7) = (2/129) * [147/2]
P(X > 7) = 147/129
P(X > 7) = 49/43

Ini juga menghasilkan probabilitas lebih dari 1, yang tidak mungkin. Ini sangat mungkin karena soal memberikan "fungsi identitas" yang biasanya adalah CDF, tetapi nilainya melebihi 1. Jika f(x) adalah CDF, maka f(x) harus monoton naik dan f(8) - f(5) harus sama dengan 1.

Mari kita cek F(8) - F(5):
F(8) = (3 * (2 + 3 * 8)) / 4 = (3 * (2 + 24)) / 4 = (3 * 26) / 4 = 78 / 4 = 19.5
F(5) = (3 * (2 + 3 * 5)) / 4 = (3 * (2 + 15)) / 4 = (3 * 17) / 4 = 51 / 4 = 12.75

F(8) - F(5) = 19.5 - 12.75 = 6.75, yang bukan 1.

Kesimpulan: Terdapat inkonsistensi dalam soal. Fungsi yang diberikan tidak dapat menjadi fungsi identitas (CDF) untuk distribusi probabilitas yang valid di rentang [5, 8]. Jika f(x) dimaksudkan sebagai PDF, maka konstanta normalisasi akan menghasilkan probabilitas yang valid, namun perhitungan awal f(6) memberikan hasil yang tidak mungkin.

Asumsi terbaik adalah menganggap f(x) = (3(2 + 3x))/4 adalah CDF yang tidak dinormalisasi dan kita perlu menemukan CDF sebenarnya G(x) = k * f(x) sedemikian rupa sehingga G(8) - G(5) = 1. Dengan k = 1/6.75 = 4/27.

Jadi, CDF sebenarnya adalah G(x) = (4/27) * (3(2+3x))/4 = (1/9)(2+3x).

Sekarang hitung P(X < 6) dan P(X > 7) menggunakan G(x).

P(X < 6) = G(6) = (1/9)(2 + 3*6) = (1/9)(2 + 18) = 20/9. Ini masih lebih dari 1.

Ada kemungkinan besar soal tersebut salah atau ada informasi yang hilang. Namun, jika kita dipaksa untuk menggunakan fungsi yang diberikan sebagai PDF dan mengabaikan fakta bahwa itu bukan PDF yang valid (karena integralnya tidak 1), maka kita akan menggunakan hasil integral parsial yang sudah dihitung sebelumnya:

Asumsi f(x) adalah PDF, dan kita hanya menggunakan bentuknya tanpa normalisasi:
P(X < 6) = Integral dari 5 sampai 6 dari (3(2+3x))/4 dx = (3/4) * [2x + (3/2)x^2] dari 5 sampai 6
= (3/4) * [(12 + (3/2)*36) - (10 + (3/2)*25)]
= (3/4) * [(12 + 54) - (10 + 75/2)]
= (3/4) * [66 - (20/2 + 75/2)]
= (3/4) * [66 - 95/2]
= (3/4) * [132/2 - 95/2]
= (3/4) * [37/2] = 111/8
Ini juga lebih dari 1.

Mengingat semua inkonsistensi, jawaban yang paling jujur adalah bahwa soal tidak dapat diselesaikan dengan benar karena adanya kesalahan dalam definisi fungsi atau rentang.