Gambar berikut adalah jajargenjang ABCD. Y D C E A B X 0

Matriks translasi tunggal adalah \( \frac{1}{2} \begin{pmatrix} x_C - x_A + x_B - x_D \\ y_C - y_A + y_B - y_D \end{pmatrix} \), di mana \( (x_A, y_A), (x_B, y_B), (x_C, y_C), (x_D, y_D) \) adalah koordinat titik A, B, C, dan D.

Pembahasan

Soal ini meminta kita untuk menentukan matriks translasi tunggal untuk komposisi translasi \( \frac{1}{2}\vec{AC} + \frac{1}{2}\vec{DB} \) pada jajargenjang ABCD. Komposisi translasi ini setara dengan menjumlahkan kedua vektor translasi tersebut. Vektor \( \vec{AC} \) adalah vektor diagonal dari A ke C, dan \( \vec{DB} \) adalah vektor diagonal dari D ke B. Dalam jajargenjang, diagonal-diagonalnya berpotongan di titik tengahnya. Misalkan titik potong diagonal adalah O. Maka \( \vec{AC} = 2\vec{AO} \) dan \( \vec{DB} = 2\vec{DO} \). Komposisi translasi menjadi \( \frac{1}{2}(2\vec{AO}) + \frac{1}{2}(2\vec{DO}) = \vec{AO} + \vec{DO} \). Karena O adalah titik tengah DB, maka \( \vec{DO} = -\vec{OB} \). Jika kita menganggap titik A sebagai titik asal (0,0), maka vektor \( \vec{AC} = C \) dan \( \vec{DB} = B - D \). Namun, tanpa koordinat spesifik dari titik-titik A, B, C, dan D, kita tidak dapat menentukan matriks translasi tunggal secara numerik. Secara konseptual, komposisi translasi \( \frac{1}{2}\vec{AC} + \frac{1}{2}\vec{DB} \) menghasilkan sebuah vektor translasi tunggal yang merupakan hasil penjumlahan dari setengah vektor diagonal AC dan setengah vektor diagonal DB. Jika kita meninjau sifat jajargenjang, vektor \( \vec{AC} \) dan \( \vec{DB} \) adalah diagonalnya. Jika kita perlu mencari translasi tunggal, kita perlu menjumlahkan kedua vektor tersebut. Misalkan \( A=(x_A, y_A), B=(x_B, y_B), C=(x_C, y_C), D=(x_D, y_D) \). Maka \( \vec{AC} = \begin{pmatrix} x_C - x_A \\ y_C - y_A \end{pmatrix} \) dan \( \vec{DB} = \begin{pmatrix} x_B - x_D \\ y_B - y_D \end{pmatrix} \). Vektor translasi tunggal adalah \( T = \frac{1}{2}\vec{AC} + \frac{1}{2}\vec{DB} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} x_C - x_A \\ y_C - y_A \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} x_B - x_D \\ y_B - y_D \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} x_C - x_A + x_B - x_D \\ y_C - y_A + y_B - y_D \end{pmatrix} \).