Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan |(x-1)/(x+1)| >=

Penyelesaiannya adalah x <= 0 dan x ≠ -1, atau dalam notasi interval (-∞, -1) U (-1, 0].

Pembahasan

Kita perlu menyelesaikan pertidaksamaan nilai mutlak: |(x-1)/(x+1)| >= 1.

Karena nilai mutlak selalu non-negatif, kita bisa mengkuadratkan kedua sisi pertidaksamaan tanpa mengubah arahnya, asalkan kita memperhatikan domain (penyebut tidak boleh nol, jadi x ≠ -1).

(x-1)² / (x+1)² >= 1²
(x-1)² / (x+1)² >= 1

Pindahkan 1 ke sisi kiri:
(x-1)² / (x+1)² - 1 >= 0

Samakan penyebutnya:
[(x-1)² - (x+1)²] / (x+1)² >= 0

Perhatikan pembilang. Ini adalah bentuk selisih kuadrat (a² - b²) = (a-b)(a+b), dengan a = (x-1) dan b = (x+1).

a - b = (x-1) - (x+1) = x - 1 - x - 1 = -2
a + b = (x-1) + (x+1) = x - 1 + x + 1 = 2x

Jadi, pembilangnya menjadi (-2)(2x) = -4x.

Pertidaksamaan menjadi:
-4x / (x+1)² >= 0

Untuk menentukan kapan ekspresi ini positif atau negatif, kita perlu mempertimbangkan tanda dari pembilang (-4x) dan penyebut ((x+1)²).

Penyebut (x+1)² selalu positif untuk semua x kecuali x = -1 (di mana ia tidak terdefinisi).

Jadi, tanda dari keseluruhan ekspresi ditentukan oleh tanda pembilang (-4x).
Agar -4x / (x+1)² >= 0, dan karena (x+1)² > 0 (untuk x ≠ -1), maka -4x harus >= 0.

-4x >= 0

Bagi kedua sisi dengan -4 dan balikkan arah pertidaksamaan:
x <= 0

Namun, kita juga harus ingat bahwa x ≠ -1.

Jadi, penyelesaiannya adalah semua bilangan real x yang kurang dari atau sama dengan 0, kecuali x = -1.

Dalam notasi interval, ini adalah (-∞, -1) U (-1, 0].