Fungsi f(x)=x^3-x^2-x+1 , grafiknya akan... (1) Naik, jika

Turunan pertama f'(x) = 3x^2 - 2x - 1. Titik stasioner di x = -1/3 dan x = 1. Fungsi naik jika x < -1/3 atau x > 1, turun jika -1/3 < x < 1. Nilai maksimum lokal di x = -1/3 adalah 32/27, minimum lokal di x = 1 adalah 0. Pernyataan yang benar adalah (2) dan (3).

Pembahasan

Untuk menganalisis kenaikan dan penurunan fungsi f(x) = x^3 - x^2 - x + 1, kita perlu mencari turunan pertamanya, f'(x), dan menentukan kapan f'(x) positif (naik), negatif (turun), atau nol (stasioner). Turunan pertama dari f(x) adalah f'(x) = 3x^2 - 2x - 1. Untuk mencari titik stasioner, kita atur f'(x) = 0: 3x^2 - 2x - 1 = 0. Dengan memfaktorkan, kita mendapatkan (3x + 1)(x - 1) = 0. Jadi, titik stasionernya adalah x = -1/3 dan x = 1. Sekarang kita uji interval: Jika x < -1/3 (misal x = -1), f'(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1) - 1 = 3 + 2 - 1 = 4 > 0 (naik). Jika -1/3 < x < 1 (misal x = 0), f'(0) = 3(0)^2 - 2(0) - 1 = -1 < 0 (turun). Jika x > 1 (misal x = 2), f'(2) = 3(2)^2 - 2(2) - 1 = 12 - 4 - 1 = 7 > 0 (naik). Untuk menentukan nilai maksimum/minimum lokal, kita periksa nilai fungsi di titik stasioner. f(-1/3) = (-1/3)^3 - (-1/3)^2 - (-1/3) + 1 = -1/27 - 1/9 + 1/3 + 1 = (-1 - 3 + 9 + 27) / 27 = 32/27 (nilai maksimum lokal). f(1) = (1)^3 - (1)^2 - (1) + 1 = 1 - 1 - 1 + 1 = 0 (nilai minimum lokal). Berdasarkan analisis ini, pernyataan yang benar adalah (2) Turun, jika -1/3 < x < 1, dan (3) Stasioner pada x = -1/3 dan x = 1. Pernyataan (1) salah karena fungsi naik untuk x < -1/3 dan x > 1. Pernyataan (4) salah karena nilai maksimum lokal adalah 32/27, bukan 0.