Suatu vektor a=(-3,4) berturut-turut merupakan pencerminan

(-3, -4)

Pembahasan

Mari kita analisis transformasi yang dialami oleh vektor \(a = (-3, 4)\).

Transformasi pertama adalah pencerminan terhadap garis \(y=x\).
Jika sebuah titik \((x, y)\) dicerminkan terhadap garis \(y=x\), maka bayangannya adalah \((y, x)\).
Jadi, setelah pencerminan, vektor menjadi \(a' = (4, -3)\).

Transformasi kedua adalah rotasi sebesar 90° searah jarum jam.
Sebuah rotasi sebesar \(\theta\) searah jarum jam (atau \(-\theta\) berlawanan arah jarum jam) pada titik \((x, y)\) menghasilkan titik \((x \cos(-\theta) - y \sin(-\theta), x \sin(-\theta) + y \cos(-\theta))\).
Dalam kasus ini, \(\theta = 90°\), sehingga \(-\theta = -90°\).
\(\cos(-90°) = 0\)
\(\sin(-90°) = -1\)

Jadi, bayangan dari \((x, y)\) setelah rotasi 90° searah jarum jam adalah \((x \cdot 0 - y \cdot (-1), x \cdot (-1) + y \cdot 0)\) yaitu \((y, -x)\).

Menerapkan rotasi ini pada vektor \(a' = (4, -3)\) (di mana \(x=4\) dan \(y=-3\)):
Bayangan \(a'' = (-3, -4)\).

Namun, soal menanyakan vektor awal sebelum transformasi. Artinya, kita perlu melakukan transformasi invers.

Transformasi invers pertama: pencerminan terhadap garis \(y=x\) adalah invers dari dirinya sendiri. Jadi, untuk kembali dari \(a'\) ke vektor awal \(a\), kita cerminkan \(a'\) lagi terhadap \(y=x\).
Jika \(a' = (y, x)\), maka \(a = (x, y)\).
Jadi, jika \(a' = (4, -3)\), maka vektor sebelum pencerminan adalah \((-3, 4)\) (yaitu vektor asli kita).

Transformasi invers kedua: rotasi sebesar 90° searah jarum jam. Inversnya adalah rotasi sebesar 90° berlawanan arah jarum jam.
Sebuah rotasi sebesar 90° berlawanan arah jarum jam pada titik \((x, y)\) menghasilkan titik \((-y, x)\).

Kita memiliki vektor akhir \(a'' = (-3, -4)\). Kita ingin mencari vektor \(a' = (x', y')\) sehingga rotasi 90° searah jarum jam dari \(a'\) menghasilkan \(a''\).
Artinya, \(a''\) adalah hasil dari rotasi 90° searah jarum jam pada \(a'\).
\(a'' = (y', -x') = (-3, -4)\).
Dari sini, kita dapatkan \(y' = -3\) dan \(-x' = -4\) sehingga \(x' = 4\).
Maka, vektor sebelum rotasi adalah \(a' = (4, -3)\).

Sekarang, kita ingin mencari vektor awal \(a = (x, y)\) sehingga pencerminan terhadap \(y=x\) menghasilkan \(a' = (4, -3)\).
\(a' = (y, x) = (4, -3)\).
Dari sini, kita dapatkan \(y = 4\) dan \(x = -3\).
Maka, vektor awalnya adalah \(a = (-3, 4)\).

Mari kita cek kembali pertanyaan soalnya. 'Suatu vektor a=(-3,4) berturut-turut merupakan pencerminan terhadap - garis y=x dan rotasi sebesar 90searah jarum jam. Vektor awalnya sebelum ditransformasi adalah'.

Ini berarti vektor \(a = (-3, 4)\) adalah HASIL dari transformasi, bukan vektor awal.

Mari kita sebut vektor awal sebagai \(v = (x, y)\).

Langkah 1: Vektor \(v\) dicerminkan terhadap garis \(y=x\). Hasilnya adalah \(v_1 = (y, x)\).

Langkah 2: Vektor \(v_1\) dirotasi 90° searah jarum jam. Hasilnya adalah \(v_2\).
Rotasi 90° searah jarum jam dari \((x', y')\) adalah \((y', -x')\).
Jadi, \(v_2 = (x, -y)\).

Diketahui bahwa hasil akhirnya adalah vektor \(a = (-3, 4)\). Jadi, \(v_2 = a\).
\(v_2 = (x, -y) = (-3, 4)\).
Dari sini, kita dapatkan \(x = -3\) dan \(-y = 4\) sehingga \(y = -4\).

Maka, vektor awalnya adalah \(v = (x, y) = (-3, -4)\).

Mari kita lakukan pengecekan:
Vektor awal \(v = (-3, -4)\).
1. Cerminkan terhadap \(y=x\): \(v_1 = (-4, -3)\).
2. Rotasi 90° searah jarum jam dari \(v_1 = (-4, -3)\):
   \(x' = -4, y' = -3\).
   Hasil rotasi = \((y', -x') = (-3, -(-4)) = (-3, 4)\).
Ini sesuai dengan vektor \(a\) yang diberikan dalam soal.

Jadi, vektor awal sebelum ditransformasi adalah \((-3, -4)\).

Jawaban Ringkas:
Vektor awalnya adalah (-3, -4).