Suku pertama suatu deret aritmetika adalah 3 1/4 ,

Jumlah 50 suku pertama adalah $\frac{110900}{53}$.

Pembahasan

Ini adalah masalah deret aritmetika. Kita diberikan suku pertama ($a_1$) dan suku ke-54 ($a_{54}$), dan kita perlu mencari jumlah 50 suku pertama ($S_{50}$).

Diketahui:
Suku pertama, $a_1 = 3 \frac{1}{4} = \frac{13}{4}$
Suku ke-54, $a_{54} = 86 \frac{3}{4} = \frac{347}{4}$

Rumus suku ke-n deret aritmetika adalah $a_n = a_1 + (n-1)b$, di mana $b$ adalah beda.
Kita bisa gunakan informasi $a_{54}$ untuk mencari beda ($b$):
$a_{54} = a_1 + (54-1)b$
$\frac{347}{4} = \frac{13}{4} + 53b$
Kurangi kedua sisi dengan $\frac{13}{4}$:
$\frac{347}{4} - \frac{13}{4} = 53b$
$\frac{334}{4} = 53b$
$\frac{167}{2} = 53b$
Bagi kedua sisi dengan 53:
$b = \frac{167}{2 \times 53}$
$b = \frac{167}{106}$

Sekarang kita perlu mencari jumlah 50 suku pertama ($S_{50}$). Rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah $S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)b)$.
Kita ingin mencari $S_{50}$, jadi $n=50$:
$S_{50} = \frac{50}{2}(2a_1 + (50-1)b)$
$S_{50} = 25(2 \times \frac{13}{4} + 49 \times \frac{167}{106})$
$S_{50} = 25(\frac{26}{4} + \frac{49 \times 167}{106})$
$S_{50} = 25(\frac{13}{2} + \frac{8183}{106})$
Samakan penyebutnya:
$S_{50} = 25(\frac{13 \times 53}{2 \times 53} + \frac{8183}{106})$
$S_{50} = 25(\frac{689}{106} + \frac{8183}{106})$
$S_{50} = 25(\frac{689 + 8183}{106})$
$S_{50} = 25(\frac{8872}{106})$
$S_{50} = 25(\frac{4436}{53})$
$S_{50} = \frac{25 \times 4436}{53}$
$S_{50} = \frac{110900}{53}$

Mari kita periksa perhitungan beda. $167/53$ tidak bisa disederhanakan. $167$ adalah bilangan prima. $53$ adalah bilangan prima.

Hitung ulang $a_{54} = a_1 + 53b$
$86.75 = 3.25 + 53b$
$83.5 = 53b$
$b = 83.5 / 53 
 b = 1.57547...

Coba cek apakah ada kesalahan dalam soal atau angka yang diberikan.
$a_1 = 3.25$
$a_{54} = 86.75$
$a_{54} - a_1 = 83.5$
$83.5 = 53b$
$b = 83.5 / 53 = 167/106$. Ini sudah benar.

$S_{50} = \frac{50}{2}(2a_1 + 49b)$
$S_{50} = 25(2 \times 3.25 + 49 \times \frac{167}{106})$
$S_{50} = 25(6.5 + \frac{8183}{106})$
$S_{50} = 25(\frac{6.5 \times 106 + 8183}{106})$
$S_{50} = 25(\frac{689 + 8183}{106})$
$S_{50} = 25(\frac{8872}{106})$
$S_{50} = 25(\frac{4436}{53})$
$S_{50} = \frac{110900}{53}$

Jika kita konversi ke desimal:
$110900 / 53 \approx 2092.4528$

Mari kita cek apakah ada cara lain atau jika angka tersebut seharusnya lebih sederhana.
Misalkan $a_{54}$ adalah suku ke-53 agar $n-1 = 53$ jadi $53b$.
Jika $a_{53} = 86.75$. $a_{53} = a_1 + 52b$.
$86.75 = 3.25 + 52b$
$83.5 = 52b$
$b = 83.5 / 52 = 1.6057...

Kembali ke soal asli dengan angka yang diberikan:
$a_1 = 13/4$
$a_{54} = 347/4$
$b = 167/106$

$S_{50} = \frac{50}{2}(a_1 + a_{50})$
Kita perlu $a_{50}$.
$a_{50} = a_1 + 49b$
$a_{50} = \frac{13}{4} + 49 \times \frac{167}{106}$
$a_{50} = \frac{13}{4} + \frac{8183}{106}$
$a_{50} = \frac{13 \times 53}{212} + \frac{8183 \times 2}{212}$
$a_{50} = \frac{689}{212} + \frac{16366}{212}$
$a_{50} = \frac{17055}{212}$

$S_{50} = 25(\frac{13}{4} + \frac{17055}{212})$
$S_{50} = 25(\frac{13 \times 53}{212} + \frac{17055}{212})$
$S_{50} = 25(\frac{689 + 17055}{212})$
$S_{50} = 25(\frac{17744}{212})$
$S_{50} = 25(\frac{8872}{106})$
$S_{50} = 25(\frac{4436}{53})$
$S_{50} = \frac{110900}{53}$

Jawaban yang diperoleh konsisten.
Jumlah 50 suku pertama deret tersebut adalah $\frac{110900}{53}$.