Diketahui tiga buah vektor a=i-j-2k, vektor b=i-j+k , dan

a. b x c = (0, 3, 3) b. a.(bxc) = -9 c. a.(bxc) sama dengan determinan matriks komponen vektor a, b, c yang hasilnya adalah -9.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menghitung beberapa hal terkait vektor a, b, dan c.

Diketahui:
vektor a = i - j - 2k = (1, -1, -2)
vektor b = i - j + k = (1, -1, 1)
vektor c = 2i + j - k = (2, 1, -1)

a. Hitung b x c (Hasil perkalian silang vektor b dan c):

b x c =  | i    j    k  |
        | 1   -1    1  |
        | 2    1   -1  |

b x c = i((-1)(-1) - (1)(1)) - j((1)(-1) - (1)(2)) + k((1)(1) - (-1)(2))
b x c = i(1 - 1) - j(-1 - 2) + k(1 + 2)
b x c = i(0) - j(-3) + k(3)
b x c = 0i + 3j + 3k = (0, 3, 3)

b. Hitung a . (b x c) (Hasil perkalian titik vektor a dengan hasil (b x c)):

a . (b x c) = (1, -1, -2) . (0, 3, 3)
a . (b x c) = (1)(0) + (-1)(3) + (-2)(3)
a . (b x c) = 0 - 3 - 6
a . (b x c) = -9

c. Buktikan bahwa hasil (b) sama dengan hasil penghitungan nilai determinan berikut: a.(bxc) = | 1 -1 -1 1 -1 1 2 2 -1|

Hasil perkalian titik vektor a dengan hasil perkalian silang b dan c (a . (b x c)) dapat dihitung langsung menggunakan determinan dari matriks yang dibentuk oleh komponen ketiga vektor tersebut:

a . (b x c) = det( [a; b; c] )

   | 1  -1  -2 |
=  | 1  -1   1 |
   | 2   1  -1 |

Mari kita hitung determinan ini:
Det = 1 * ((-1)(-1) - (1)(1)) - (-1) * ((1)(-1) - (1)(2)) + (-2) * ((1)(1) - (-1)(2))
Det = 1 * (1 - 1) + 1 * (-1 - 2) - 2 * (1 + 2)
Det = 1 * (0) + 1 * (-3) - 2 * (3)
Det = 0 - 3 - 6
Det = -9

Nilai determinan yang diberikan dalam soal adalah:
| 1 -1 -1 1 -1 1 2 2 -1|
Hati-hati, format determinan ini tampaknya tidak standar untuk perkalian tiga vektor. Biasanya, determinan untuk a . (b x c) adalah determinan matriks 3x3 yang barisnya (atau kolomnya) adalah komponen vektor a, b, dan c.

Jika determinan yang dimaksud adalah:
   | 1 -1 -1 |
   | 1 -1  1 |
   | 2  2 -1 |

Maka perhitungannya adalah:
Det = 1 * ((-1)(-1) - (1)(2)) - (-1) * ((1)(-1) - (1)(2)) + (-1) * ((1)(2) - (-1)(2))
Det = 1 * (1 - 2) + 1 * (-1 - 2) - 1 * (2 + 2)
Det = 1 * (-1) + 1 * (-3) - 1 * (4)
Det = -1 - 3 - 4
Det = -8

Namun, jika kita melihat kembali soal c, tertulis "hasil penghitungan nilai determinan berikut: a.(bxc) = | 1 -1 -1 1 -1 1 2 2 -1|". Format ini mirip dengan matriks 3x3. Mari kita asumsikan baris pertama adalah komponen vektor a, baris kedua adalah vektor b, dan baris ketiga adalah vektor c, tetapi dengan beberapa kesalahan penulisan pada komponennya:

Jika vektor a = (1, -1, -1), vektor b = (1, -1, 1), vektor c = (2, 2, -1), maka:

a . (b x c) = det( [a; b; c] )

   | 1  -1  -1 |
=  | 1  -1   1 |
   | 2   2  -1 |

Det = 1 * ((-1)(-1) - (1)(2)) - (-1) * ((1)(-1) - (1)(2)) + (-1) * ((1)(2) - (-1)(2))
Det = 1 * (1 - 2) + 1 * (-1 - 2) - 1 * (2 + 2)
Det = 1 * (-1) + 1 * (-3) - 1 * (4)
Det = -1 - 3 - 4
Det = -8

Perlu dicatat bahwa hasil perhitungan a.(bxc) kita sebelumnya adalah -9, sedangkan perhitungan determinan (dengan asumsi komponen yang diberikan dalam soal c adalah komponen vektor yang benar) adalah -8 (jika determinan adalah matriks 3x3 seperti di atas) atau -8 (jika determinan adalah matriks yang berbeda). Ada ketidaksesuaian antara soal bagian b dan soal bagian c mengenai komponen vektor yang digunakan atau cara perhitungan determinannya.

Jika kita mengasumsikan bahwa determinan yang dimaksud adalah matriks yang dibentuk oleh vektor a=(1, -1, -2), b=(1, -1, 1), c=(2, 1, -1), maka determinannya adalah -9, sesuai dengan hasil a.(bxc) pada bagian b.

   | 1  -1  -2 |
=  | 1  -1   1 |
   | 2   1  -1 |

Det = 1 * ((-1)(-1) - (1)(1)) - (-1) * ((1)(-1) - (1)(2)) + (-2) * ((1)(1) - (-1)(2))
Det = 1 * (1 - 1) + 1 * (-1 - 2) - 2 * (1 + 2)
Det = 1 * (0) + 1 * (-3) - 2 * (3)
Det = 0 - 3 - 6
Det = -9

Dengan demikian, terbukti bahwa a.(bxc) = -9, yang sama dengan nilai determinan matriks yang dibentuk oleh komponen vektor a, b, dan c.