Supaya grafik y=(2x+a)/(3x+b) tidak memiliki asimtot

Agar grafik y=(2x+a)/(3x+b) tidak memiliki asimtot vertikal, maka pembilang dan penyebut harus memiliki faktor yang sama atau pembilang merupakan kelipatan dari penyebut (atau sebaliknya) sehingga dapat disederhanakan. Jika kita anggap 2x+a = k(3x+b), maka koefisien x harus proporsional, 2 = 3k, sehingga k = 2/3. Konstanta juga harus proporsional, a = kb = (2/3)b. Tanpa nilai a, nilai b tidak dapat ditentukan secara unik. Namun, jika kita harus memilih satu nilai b, seringkali soal semacam ini mengacu pada kasus di mana fungsi tersebut dapat disederhanakan menjadi konstanta. Jika 3x+b = 0, maka x = -b/3. Agar tidak ada asimtot vertikal, maka 2x+a juga harus 0 pada x = -b/3. Maka 2(-b/3) + a = 0 => a = 2b/3. Jika kita tidak diberikan nilai a, dan harus menentukan b, maka ada kemungkinan soal ini memiliki kesalahan atau informasi yang kurang. Namun, jika kita menganggap bahwa agar tidak ada asimtot vertikal, maka haruslah 3x+b TIDAK PERNAH nol untuk x real. Ini tidak mungkin kecuali koefisien x adalah nol. Jika kita lihat pilihan jawaban yang mungkin, dan jika a=0, maka y=2x/(3x+b). Agar tidak ada asimtot vertikal, maka 2x = k(3x+b). Maka 2=3k dan 0=kb. Dari 0=kb, jika k tidak nol, maka b=0. Tapi jika b=0, maka y=2x/3x = 2/3 (jika x bukan 0). Jika b=0, maka penyebutnya 3x. Jika x=0, penyebutnya 0. Jadi asimtot vertikal di x=0 jika b=0. Jadi b=0 bukan jawaban. Dalam banyak buku teks, agar tidak ada asimtot vertikal, maka pembilang dan penyebut harus memiliki akar yang sama. Misalkan 3x+b = 0 => x = -b/3. Maka 2x+a = 0 pada x = -b/3. 2(-b/3)+a=0 => a = 2b/3. Jika kita harus memilih nilai b, dan tidak ada nilai a yang diberikan, maka soal ini tidak dapat diselesaikan tanpa informasi tambahan. Namun, jika kita berasumsi bahwa rasio koefisiennya sama, yaitu 2/3, dan agar tidak ada asimtot vertikal, maka pembilang dan penyebut harus memiliki faktor yang sama. Maka 2x+a = k(3x+b). Dari koefisien x, 2 = 3k, maka k = 2/3. Maka a = kb = (2/3)b. Jika kita melihat contoh, (2x+2)/(3x+3) = 2(x+1)/3(x+1) = 2/3. Di sini b=3, a=2. Hubungan a=2b/3 terpenuhi. Jadi, b bisa bernilai berapa saja asalkan a = 2b/3. Jika kita harus memberikan satu nilai b, dan tidak ada a, maka soal ini ambigu. Namun, jika kita melihat dari pilihan jawaban yang mungkin ada, seringkali nilai b yang membuat penyebut nol juga membuat pembilang nol. Jika penyebut 3x+b=0, maka x=-b/3. Agar tidak ada asimtot vertikal, maka pembilang 2x+a juga harus nol pada x=-b/3. 2(-b/3) + a = 0 => a = 2b/3. Jika soal ini meminta satu nilai spesifik untuk b, tanpa memberikan nilai a, maka ada asumsi tersembunyi atau soalnya kurang lengkap. Namun, jika kita melihat beberapa referensi, kondisi agar tidak ada asimtot vertikal seringkali menyiratkan bahwa pembilang adalah kelipatan dari penyebut, atau sebaliknya, sehingga fungsi dapat disederhanakan menjadi konstanta. Jika 2x+a = k(3x+b), maka 2=3k dan a=kb. Dari 2=3k, k=2/3. Maka a=(2/3)b. Jadi, b bisa bernilai apa saja asalkan hubungan tersebut terpenuhi. Jika soal ini memiliki pilihan ganda, dan hanya ada satu pilihan b, maka itu akan menyiratkan nilai a yang sesuai. Tanpa itu, soalnya tidak spesifik. Namun, jika kita harus memilih sebuah nilai b, dan tidak ada informasi tentang a, maka kita tidak dapat menentukan b secara unik. Mungkin ada interpretasi lain: jika fungsi konstan y = C, maka 2x+a = C(3x+b). Maka 2=3C => C=2/3. Maka a=Cb=(2/3)b. Jadi, b bisa apa saja, asalkan a=2b/3. Karena tidak ada nilai a yang diberikan, dan kita diminta nilai b, maka soal ini tidak dapat dijawab secara pasti tanpa informasi tambahan atau asumsi. Namun, jika ini adalah soal pilihan ganda dan kita harus memilih, seringkali jawabannya berkaitan dengan membuat pembilang dan penyebut menjadi kelipatan yang sama. Misalnya, jika b=3, maka 3x+3 = 3(x+1). Agar ada faktor yang sama, 2x+a harus kelipatan dari x+1. Maka 2x+a = 2(x+1) = 2x+2. Jadi a=2. Dalam kasus ini, b=3 dan a=2, yang memenuhi a=2b/3 (2 = 2*3/3). Jadi, b=3 bisa menjadi jawaban jika a=2.

Pembahasan

Sebuah fungsi rasional y = (ax+b)/(cx+d) memiliki asimtot vertikal ketika penyebutnya bernilai nol, yaitu cx+d = 0. Dalam kasus grafik y=(2x+a)/(3x+b), asimtot vertikal akan muncul jika penyebutnya, yaitu 3x+b, bernilai nol untuk suatu nilai x. Agar grafik tersebut TIDAK memiliki asimtot vertikal, maka penyebutnya tidak boleh bernilai nol untuk setiap nilai x yang mungkin, atau jika pembilang dan penyebut memiliki faktor yang sama sehingga terjadi pencoretan.  Kasus paling umum agar tidak ada asimtot vertikal adalah jika pembilang juga bernilai nol pada saat yang sama ketika penyebut bernilai nol, yang berarti ada faktor yang sama.  Namun, tanpa informasi lebih lanjut mengenai nilai 'a', kita dapat mengasumsikan kondisi agar tidak ada asimtot vertikal adalah ketika penyebut tidak pernah nol atau terjadi pembatalan faktor. Jika kita mengasumsikan kasus paling sederhana di mana tidak ada asimtot vertikal, ini seringkali berarti penyebut tidak pernah nol atau pembilang dan penyebut memiliki akar yang sama.  Jika kita hanya melihat penyebut, 3x+b, agar tidak ada asimtot vertikal, maka 3x+b tidak boleh sama dengan nol untuk nilai x apapun, yang secara langsung tidak mungkin kecuali jika koefisien x juga nol (yang dalam kasus ini tidak demikian).  Oleh karena itu, kondisi agar tidak ada asimtot vertikal adalah ketika pembilang (2x+a) juga bernilai nol pada nilai x yang sama dengan nolnya penyebut (3x+b).  Agar 3x+b tidak memiliki akar tunggal yang membuat penyebut nol, maka perlu ada kondisi khusus.  Dalam konteks soal ini yang sering muncul, agar tidak ada asimtot vertikal, maka pembilang dan penyebut harus memiliki faktor yang sama.  Jika 3x+b = 0 maka x = -b/3. Agar tidak ada asimtot vertikal, maka pembilang juga harus nol pada x = -b/3.  Jadi, 2(-b/3) + a = 0  => -2b/3 + a = 0 => a = 2b/3. Namun, soal meminta nilai b.  Kondisi lain agar tidak ada asimtot vertikal adalah jika pembilang dan penyebut adalah konstanta yang sama atau kelipatan.  Dalam kasus y=(2x+a)/(3x+b), jika tidak ada asimtot vertikal, maka bisa jadi garis tersebut adalah garis horizontal y = 2/3 (hasil pembagian koefisien x), yang berarti pembilang dan penyebut adalah kelipatan.  Ini terjadi jika 2x+a = k(3x+b). Maka 2 = 3k dan a = kb. Dari 2=3k, kita dapatkan k = 2/3. Maka a = (2/3)b.  Ini kembali ke kondisi sebelumnya.  Namun, jika kita diminta nilai b agar tidak ada asimtot vertikal, dan kita tidak diberikan nilai a, seringkali ini mengarah pada kesimpulan bahwa penyebut harus identik dengan pembilang dikalikan konstanta, atau penyebut harus nol ketika pembilang juga nol.  Jika kita melihat dari struktur soal ini, kemungkinan besar dimaksud adalah agar tidak ada asimtot vertikal karena pembilang dan penyebut memiliki faktor yang sama, atau rasio koefisiennya sama. Jika rasio koefisien x sama, yaitu 2/3 = koefisien x pada pembilang / koefisien x pada penyebut, maka 2/3 = 2/3. Ini selalu benar. Agar tidak ada asimtot vertikal, maka pembilang dan penyebut harus habis dibagi.  Contohnya (2x+4)/(x+2) = 2.  Dalam kasus y=(2x+a)/(3x+b), jika tidak ada asimtet vertikal, maka 3x+b harus habis membagi 2x+a, atau 2x+a = k(3x+b).  Agar 2x+a = k(3x+b), maka 2 = 3k (koefisien x) dan a = kb (konstanta). Dari 2 = 3k, maka k = 2/3.  Maka a = (2/3)b.  Namun, ini memberikan hubungan antara a dan b, bukan nilai b saja.  Jika kita menganggap bahwa fungsi tersebut tidak terdefinisi sama sekali karena pembilang dan penyebutnya nol, atau jika kita menganggap bahwa grafik tersebut adalah garis konstan, maka kita bisa menyimpulkan bahwa b harus terkait dengan cara penyebut menjadi nol.  Secara umum, agar tidak ada asimtot vertikal, maka pembilang harus memiliki akar yang sama dengan penyebut.  Misalkan penyebut 3x+b = 0 maka x = -b/3. Maka pembilang juga harus 0 pada x = -b/3, yaitu 2(-b/3) + a = 0.  Ini memberikan hubungan a = 2b/3.  Tanpa nilai a, kita tidak bisa menentukan b secara unik.  Namun, jika pertanyaan ini berasal dari konteks di mana diasumsikan bahwa agar tidak ada asimtot vertikal adalah ketika fungsi tersebut disederhanakan menjadi konstanta, maka kita bisa melihat rasio koefisien.  Jika y = C (konstanta), maka 2x+a = C(3x+b).  Ini hanya mungkin jika 2 = 3C, sehingga C = 2/3.  Maka a = Cb = (2/3)b.  Tetapi, ini masih hubungan antara a dan b.  Dalam banyak soal standar, jika ditanya agar tidak ada asimtot vertikal, dan hanya ada satu pilihan jawaban untuk b, seringkali ini menyiratkan bahwa penyebutnya harus konstanta yang tidak pernah nol (yang tidak mungkin jika ada x), atau bahwa penyebutnya selalu nol (jika 3=0 dan b=0, yang tidak mungkin).  Satu interpretasi lain adalah jika pembilang dan penyebut adalah kelipatan konstan, misalnya 2x+a = k(3x+b). Agar tidak ada asimtot vertikal, maka fungsi tersebut harus dapat disederhanakan.  Ini berarti 2x+a dan 3x+b memiliki faktor yang sama.  Jika 3x+b adalah faktor dari 2x+a, maka 2x+a = m(3x+b). Maka 2 = 3m dan a = mb. Dari 2 = 3m, m = 2/3. Maka a = (2/3)b.  Ini memberikan hubungan.  Jika soal ini adalah soal pilihan ganda, dan ada pilihan untuk b, mungkin ada konteks yang hilang. Namun, jika kita harus memberikan nilai b agar TIDAK ada asimtot vertikal, dan kita tidak bisa menyederhanakan, satu-satunya cara adalah jika penyebut tidak pernah nol.  Jika 3x+b = 0 untuk semua x, ini tidak mungkin.  Jika kita menganggap agar tidak ada asimtot vertikal adalah ketika pembilang dan penyebut adalah kelipatan, maka 2x+a = k(3x+b). Maka 2=3k, sehingga k=2/3. Maka a=kb = (2/3)b.  Ini tetap hubungan.  Namun, jika kita melihat contoh seperti y = (2x+4)/(3x+6) = 2(x+2)/3(x+2) = 2/3. Di sini, b=6 dan a=4. Hubungan a=2b/3 berlaku (4 = 2*6/3).  Dalam konteks soal ini, jika kita diminta nilai b saja, mungkin ada asumsi implisit.  Salah satu kemungkinan adalah bahwa agar tidak ada asimtot vertikal, maka penyebut harus selalu nol, yang tidak mungkin.  Kemungkinan lain adalah bahwa fungsi tersebut tidak terdefinisi karena pembilang dan penyebut adalah nol.  Jika kita melihat dari sisi