Luas daerah penyelesaian sistem pertidak- samaan x+y<=8,

Luas daerah penyelesaian adalah 18 satuan luas.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mencari luas daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan: $x+y \le 8$, $0 \le x \le 6$, dan $x+y \ge 5$.

Langkah 1: Gambarkan garis-garis dari pertidaksamaan.
1. $x+y = 8$ (Garis A)
2. $x = 0$ (Sumbu y)
3. $x = 6$ (Garis vertikal di x=6)
4. $x+y = 5$ (Garis B)

Langkah 2: Tentukan daerah penyelesaian untuk setiap pertidaksamaan.
1. $x+y \le 8$: Daerah di bawah atau pada garis $x+y=8$.
2. $0 \le x \le 6$: Daerah di antara sumbu y (inklusif) dan garis $x=6$ (inklusif).
3. $x+y \ge 5$: Daerah di atas atau pada garis $x+y=5$.

Langkah 3: Cari irisan dari semua daerah penyelesaian.
Kita mencari daerah yang memenuhi ketiga kondisi tersebut secara bersamaan. Daerah ini dibatasi oleh garis $x=0$, $x=6$, $x+y=5$, dan $x+y=8$.

Perpotongan garis $x+y=8$ dengan $x=0$ adalah (0, 8).
Perpotongan garis $x+y=8$ dengan $x=6$ adalah (6, 2).
Perpotongan garis $x+y=5$ dengan $x=0$ adalah (0, 5).
Perpotongan garis $x+y=5$ dengan $x=6$ adalah (6, -1).

Daerah yang dimaksud adalah sebuah trapesium dengan titik-titik sudut (0, 5), (0, 8), (6, 2), dan (6, -1). Namun, kita perlu memperhatikan batasan $y \ge 0$ jika tidak disebutkan secara eksplisit, tetapi dalam soal ini tidak ada batasan $y \ge 0$ yang diberikan secara eksplisit, jadi kita ikuti batas $x$.

Kita perlu menghitung luas daerah trapesium yang dibatasi oleh $x=0$, $x=6$, $x+y=5$, dan $x+y=8$. Luas daerah ini dapat dihitung dengan mengintegralkan selisih antara fungsi batas atas dan fungsi batas bawah terhadap $x$, dari $x=0$ hingga $x=6$. Namun, lebih mudah menghitungnya sebagai luas trapesium jika kita melihatnya dalam bidang xy.

Daerah penyelesaian adalah trapesium dengan titik sudut:
A = (0, 8) [dari x+y=8 dan x=0]
B = (6, 2) [dari x+y=8 dan x=6]
C = (6, -1) [dari x+y=5 dan x=6]
D = (0, 5) [dari x+y=5 dan x=0]

Ini adalah trapesium yang dibatasi oleh sumbu y (x=0) dan garis vertikal x=6. Sisi sejajarnya adalah segmen pada garis x=0 dan x=6.

Pada x=0, rentang y adalah dari 5 hingga 8. Panjang sisi sejajar pertama = 8 - 5 = 3.
Pada x=6, rentang y adalah dari -1 hingga 2. Panjang sisi sejajar kedua = 2 - (-1) = 3.

Ini seharusnya adalah sebuah jajar genjang jika sisi-sisinya sejajar. Mari kita periksa lagi.

Atau kita bisa memecahnya menjadi luas di bawah $x+y=8$ dikurangi luas di bawah $x+y=5$, di antara $x=0$ dan $x=6$.

Luas di bawah $x+y=8$ dari $x=0$ ke $x=6$: Integral dari (8-x) dx dari 0 sampai 6 = $[8x - x^2/2]$ dari 0 sampai 6 = $(8*6 - 6^2/2) - (0) = 48 - 18 = 30$.
Luas di bawah $x+y=5$ dari $x=0$ ke $x=6$: Integral dari (5-x) dx dari 0 sampai 6 = $[5x - x^2/2]$ dari 0 sampai 6 = $(5*6 - 6^2/2) - (0) = 30 - 18 = 12$.

Luas daerah penyelesaian = Luas di bawah $x+y=8$ - Luas di bawah $x+y=5$
Luas = 30 - 12 = 18.

Perlu diperhatikan bahwa kita mengasumsikan daerah tersebut berada di bawah garis dan di atas sumbu x jika tidak ada batasan. Namun, di sini kita mencari daerah di antara dua garis sejajar, dengan batasan $x$.

Mari kita gunakan rumus luas trapesium dengan sisi sejajar vertikal:
Titik pada x=0: (0,5) dan (0,8). Jarak vertikal = 3.
Titik pada x=6: (6,-1) dan (6,2). Jarak vertikal = 3.

Ini bukan trapesium biasa dengan alas horizontal. Ini adalah daerah di antara dua garis miring dengan batasan vertikal $x=0$ dan $x=6$. 

Luas daerah yang dibatasi oleh $y=f(x)$, $y=g(x)$, $x=a$, $x=b$ adalah $\int_a^b |f(x)-g(x)| dx$.
Di sini, $f(x) = 8-x$ (batas atas) dan $g(x) = 5-x$ (batas bawah).
Luas = $\int_0^6 ((8-x) - (5-x)) dx = \int_0^6 3 dx = [3x]_0^6 = 3(6) - 3(0) = 18$.