T1 adalah transformasi rotasi pusat O dan sudut putar 90.

Koordinat titik A adalah (-8, -6).

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu memahami konsep transformasi geometri, yaitu rotasi dan pencerminan.

Diketahui:
Titik A memiliki koordinat \( (x, y) \).
Transformasi T1 adalah rotasi pusat O (0,0) dengan sudut putar 90 derajat searah jarum jam atau berlawanan arah jarum jam. Dalam matematika, rotasi 90 derajat biasanya diasumsikan berlawanan arah jarum jam, yang menghasilkan matriks rotasi \( \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \). Jika rotasi 90 derajat searah jarum jam, matriksnya adalah \( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \). Mari kita asumsikan rotasi 90 derajat berlawanan arah jarum jam.

Transformasi T2 adalah pencerminan terhadap garis \( y = -x \). Matriks pencerminan ini adalah \( \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \).

Peta titik A oleh transformasi T1 dilanjutkan dengan T2 adalah A' dengan koordinat \( (8, -6) \).

Langkah 1: Tentukan matriks transformasi gabungan (T2 o T1).
Matriks T1 (rotasi 90 derajat berlawanan arah jarum jam) = \( R_{90} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \).
Matriks T2 (pencerminan y=-x) = \( M_{-x,-y} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \).

Matriks transformasi gabungan \( T = T2 \circ T1 \) adalah hasil perkalian matriks T2 dengan matriks T1:
\( T = M_{-x,-y} \times R_{90} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \)
\( T = \begin{pmatrix} (0)(0)+(-1)(1) & (0)(-1)+(-1)(0) \\ (-1)(0)+(0)(1) & (-1)(-1)+(0)(0) \end{pmatrix} \)
\( T = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 
 \end{pmatrix} \)

Transformasi ini \( \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 
 \end{pmatrix} \) menunjukkan bahwa titik \( (x, y) \) dipetakan ke \( (-x, y) \). Ini adalah pencerminan terhadap sumbu y.

Langkah 2: Terapkan transformasi gabungan pada titik A \( (x, y) \) untuk mendapatkan A' \( (8, -6) \).
\( T \begin{pmatrix} x \\ y 
 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ -6 
 \end{pmatrix} \)
\( \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 
 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y 
 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ -6 
 \end{pmatrix} \)
\( \begin{pmatrix} -x \\ y 
 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ -6 
 \end{pmatrix} \)

Dari persamaan matriks ini, kita dapatkan:
-x = 8  =>  x = -8
y = -6

Jadi, koordinat titik A adalah \( (-8, -6) \).


*Pengecekan dengan asumsi rotasi 90 derajat searah jarum jam*
Jika T1 adalah rotasi 90 derajat searah jarum jam, matriksnya adalah \( R_{-90} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 
 \end{pmatrix} \).
Matriks transformasi gabungan \( T = T2 \circ T1 \) adalah:
\( T = M_{-x,-y} \times R_{-90} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \)
\( T = \begin{pmatrix} (0)(0)+(-1)(-1) & (0)(1)+(-1)(0) \\ (-1)(0)+(0)(-1) & (-1)(1)+(0)(0) \end{pmatrix} \)
\( T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 
 \end{pmatrix} \)
Transformasi ini \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 
 \end{pmatrix} \) menunjukkan bahwa titik \( (x, y) \) dipetakan ke \( (x, -y) \). Ini adalah pencerminan terhadap sumbu x.

Menerapkan pada A':
\( T \begin{pmatrix} x \\ y 
 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ -6 
 \end{pmatrix} \)
\( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 
 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y 
 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ -6 
 \end{pmatrix} \)
\( \begin{pmatrix} x \\ -y 
 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ -6 
 \end{pmatrix} \)
Dari sini:
x = 8
-y = -6 => y = 6

Jadi, jika rotasi searah jarum jam, koordinat titik A adalah \( (8, 6) \). Namun, konvensi umum adalah rotasi berlawanan arah jarum jam.

Kesimpulan berdasarkan konvensi umum (rotasi berlawanan arah jarum jam): Koordinat titik A adalah \( (-8, -6) \).