Tentukan akar-akar dari masing-masing persamaan kuadrat di

Akar-akarnya adalah y = -3/5 dan y = 2. HP = {-3/5, 2}

Pembahasan

Untuk menentukan akar-akar dari persamaan kuadrat 6 + 7y - 5y² = 0 dengan cara tak langsung dan menuliskan himpunan penyelesaiannya (HP), kita perlu menyelesaikan persamaan tersebut terlebih dahulu. Persamaan kuadrat umumnya ditulis dalam bentuk ay² + by + c = 0.
Dalam kasus ini, urutan suku-sukunya berbeda, jadi mari kita susun ulang menjadi: -5y² + 7y + 6 = 0.

Cara Tak Langsung (Menggunakan Rumus ABC/Diskriminan):
Rumus kuadrat adalah y = [-b ± sqrt(b² - 4ac)] / 2a
Di sini, a = -5, b = 7, dan c = 6.

Hitung diskriminan (D = b² - 4ac):
D = (7)² - 4(-5)(6)
D = 49 - (-120)
D = 49 + 120
D = 169

Karena D > 0 (169), maka persamaan ini memiliki dua akar real yang berbeda.

Hitung akar-akarnya:
Karena D = 169, maka sqrt(D) = sqrt(169) = 13.

y₁ = [-b + sqrt(D)] / 2a
y₁ = [-7 + 13] / (2 * -5)
y₁ = 6 / -10
y₁ = -6/10 = -3/5

y₂ = [-b - sqrt(D)] / 2a
y₂ = [-7 - 13] / (2 * -5)
y₂ = -20 / -10
y₂ = 2

Jadi, akar-akar dari persamaan kuadrat 6 + 7y - 5y² = 0 adalah y = -3/5 dan y = 2.

Himpunan Penyelesaian (HP):
HP = {-3/5, 2}

Cara Tak Langsung (Pemfaktoran):
Kita juga bisa mencoba memfaktorkan persamaan -5y² + 7y + 6 = 0.
Pertama, kita bisa mengalikan seluruh persamaan dengan -1 untuk membuat koefisien y² positif: 5y² - 7y - 6 = 0.

Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan (a*c) = (5 * -6) = -30, dan jika dijumlahkan menghasilkan b = -7.
Bilangan-bilangan tersebut adalah -10 dan 3 (-10 * 3 = -30, -10 + 3 = -7).

Sekarang, kita pecah suku tengah (-7y) menggunakan kedua bilangan tersebut:
5y² - 10y + 3y - 6 = 0

Kelompokkan suku-sukunya:
(5y² - 10y) + (3y - 6) = 0

Faktorkan keluar faktor umum dari setiap kelompok:
5y(y - 2) + 3(y - 2) = 0

Sekarang, faktorkan (y - 2) keluar:
(5y + 3)(y - 2) = 0

Untuk mencari akar-akarnya, setel setiap faktor sama dengan nol:
5y + 3 = 0  => 5y = -3  => y = -3/5
y - 2 = 0   => y = 2

Hasil pemfaktoran memberikan akar-akar yang sama, yaitu y = -3/5 dan y = 2.

Himpunan Penyelesaian (HP):
HP = {-3/5, 2}