Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 2x-sin x-1=0 untuk

{0, \pi, 7\pi/6, 11\pi/6, 2\pi}

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan $\cos 2x - \sin x - 1 = 0$ untuk $x \in [0, 2\pi]$, kita gunakan identitas trigonometri $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$.
Substitusikan identitas tersebut ke dalam persamaan:
$(1 - 2\sin^2 x) - \sin x - 1 = 0$
$-2\sin^2 x - \sin x = 0$
$2\sin^2 x + \sin x = 0$
$\\sin x (2\sin x + 1) = 0$

Dari sini, kita dapatkan dua kemungkinan:
1) $\\sin x = 0$
   Dalam interval $[0, 2\pi]$, $\\sin x = 0$ terjadi pada $x = 0, \pi, 2\pi$.

2) $2\sin x + 1 = 0$
   $2\sin x = -1$
   $\\sin x = -1/2$
   Dalam interval $[0, 2\pi]$, $\\sin x = -1/2$ terjadi pada kuadran III dan IV. Sudut referensinya adalah $\pi/6$. Maka:
   $x = \pi + \pi/6 = 7\pi/6$
   $x = 2\pi - \pi/6 = 11\pi/6$

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {$0, \pi, 7\pi/6, 11\pi/6, 2\pi$}.