Tentukan akar-akar persamaan berikut. x^4-2x^3-4x^2+2x+3=0

Akar-akar persamaan tersebut adalah -1 (akar kembar), 1, dan 3.

Pembahasan

Untuk menentukan akar-akar persamaan polinomial x⁴ - 2x³ - 4x² + 2x + 3 = 0, kita dapat menggunakan teorema sisa dan teorema faktor, serta mencoba membagi dengan faktor-faktor rasional yang mungkin. Faktor-faktor dari konstanta 3 adalah ±1, ±3.

Mari kita coba x = 1:
1⁴ - 2(1)³ - 4(1)² + 2(1) + 3 = 1 - 2 - 4 + 2 + 3 = 0.
Jadi, x = 1 adalah salah satu akarnya, yang berarti (x - 1) adalah faktornya.

Mari kita coba x = -1:
(-1)⁴ - 2(-1)³ - 4(-1)² + 2(-1) + 3 = 1 - 2(-1) - 4(1) - 2 + 3 = 1 + 2 - 4 - 2 + 3 = 0.
Jadi, x = -1 adalah salah satu akarnya, yang berarti (x + 1) adalah faktornya.

Karena (x - 1) dan (x + 1) adalah faktornya, maka (x - 1)(x + 1) = x² - 1 juga merupakan faktornya. Kita bisa membagi polinomial asli dengan x² - 1 menggunakan pembagian panjang:
(x⁴ - 2x³ - 4x² + 2x + 3) / (x² - 1) = x² - 2x - 3.

Sekarang kita cari akar dari hasil pembagian x² - 2x - 3 = 0:
(x - 3)(x + 1) = 0.
Ini memberikan akar x = 3 dan x = -1.

Jadi, akar-akar dari persamaan x⁴ - 2x³ - 4x² + 2x + 3 = 0 adalah 1, -1, 3, dan -1. Dengan kata lain, akar-akarnya adalah -1 (akar kembar), 1, dan 3.