Tentukan bilangan terkecil yang harus dikalikan 5.000 agar

25

Pembahasan

Untuk menentukan bilangan terkecil yang harus dikalikan 5.000 agar diperoleh suatu pangkat tiga dari bilangan asli, kita perlu mencari faktorisasi prima dari 5.000 terlebih dahulu.

5.000 = 5 x 1.000
1.000 = 10 x 10 x 10 = (2 x 5) x (2 x 5) x (2 x 5) = 2^3 x 5^3

Jadi, 5.000 = 5 x 2^3 x 5^3 = 2^3 x 5^4.

Agar 5.000 menjadi bilangan pangkat tiga (pangkatnya kelipatan 3), kita perlu menyesuaikan pangkat dari setiap faktor prima.
Faktor 2 sudah memiliki pangkat 3, yang merupakan kelipatan 3.
Faktor 5 memiliki pangkat 4. Agar menjadi pangkat tiga, kita perlu faktor 5 dengan pangkat 3 (3 adalah kelipatan 3 terdekat yang lebih kecil dari 4) atau pangkat 6 (kelipatan 3 yang lebih besar dari 4).

Kita ingin mencari bilangan terkecil yang harus dikalikan, jadi kita perlu menambahkan faktor 5 agar pangkatnya menjadi kelipatan 3 terdekat yang lebih besar, yaitu 6.
Untuk itu, kita perlu mengalikan dengan 5^(6-4) = 5^2 = 25.

Atau, kita bisa melihat bahwa agar menjadi pangkat tiga, setiap faktor prima harus memiliki pangkat yang merupakan kelipatan 3. Dalam 2^3 x 5^4, faktor 2 sudah 'aman'. Faktor 5 memiliki pangkat 4. Agar pangkatnya menjadi kelipatan 3, kita perlu menambahkannya menjadi 6. Jadi, kita perlu mengalikan dengan 5^2 = 25.

Dengan mengalikan 5.000 dengan 25, kita mendapatkan: 5.000 x 25 = (2^3 x 5^4) x 5^2 = 2^3 x 5^6. Ini adalah pangkat tiga dari (2 x 5^2) = 2 x 25 = 50, karena (50)^3 = (2 x 5^2)^3 = 2^3 x (5^2)^3 = 2^3 x 5^6.

Jadi, bilangan terkecil yang harus dikalikan 5.000 agar diperoleh suatu pangkat tiga dari bilangan asli adalah 25.