Jika (akar(3 + 2 akar(2)))^x - (akar(3 - 2 akar(2)))^x =

Nilai x adalah $\frac{\log 2}{\log(\sqrt{2} + 1)}$.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan persamaan $({\sqrt{3 + 2\sqrt{2}}})^x - ({\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}})^x = 3/2$, kita perlu menyederhanakan bentuk akar terlebih dahulu.

Perhatikan $3 + 2\sqrt{2}$. Kita bisa menuliskannya sebagai $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$. Cari dua bilangan yang jika dikuadratkan dijumlahkan menjadi 3, dan jika dikalikan menjadi $\sqrt{2}$.
Kita bisa melihat bahwa $3 + 2\sqrt{2} = 2 + 1 + 2\sqrt{2} = (\sqrt{2})^2 + 1^2 + 2(\sqrt{2})(1) = (\sqrt{2} + 1)^2$.
Maka, $\sqrt{3 + 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2} + 1)^2} = \sqrt{2} + 1$.

Selanjutnya, perhatikan $3 - 2\sqrt{2}$. Dengan cara yang sama, $3 - 2\sqrt{2} = 2 + 1 - 2\sqrt{2} = (\sqrt{2})^2 + 1^2 - 2(\sqrt{2})(1) = (\sqrt{2} - 1)^2$.
Maka, $\sqrt{3 - 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2} - 1)^2} = \sqrt{2} - 1$.

Sekarang substitusikan kembali ke persamaan awal:
$({\sqrt{2} + 1})^x - ({\sqrt{2} - 1})^x = 3/2$.

Perhatikan bahwa $(\sqrt{2} - 1)$ adalah kebalikan dari $(\sqrt{2} + 1)$, karena $(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$.
Maka, $(\sqrt{2} - 1) = \frac{1}{\sqrt{2} + 1}$.

Persamaan menjadi:
$({\sqrt{2} + 1})^x - \left(\frac{1}{\sqrt{2} + 1}\right)^x = 3/2$.

Misalkan $y = (\sqrt{2} + 1)^x$. Maka persamaan menjadi:
$y - \frac{1}{y} = 3/2$.

Kalikan kedua sisi dengan $2y$ untuk menghilangkan pecahan:
$2y^2 - 2 = 3y$.
$2y^2 - 3y - 2 = 0$.

Ini adalah persamaan kuadrat dalam $y$. Kita bisa memfaktorkannya:
$(2y + 1)(y - 2) = 0$.

Maka, solusinya adalah $2y + 1 = 0$ atau $y - 2 = 0$.
$y = -1/2$ atau $y = 2$.

Karena $y = (\sqrt{2} + 1)^x$, dan $(\sqrt{2} + 1)$ adalah bilangan positif, maka $y$ harus positif. Jadi, $y = -1/2$ tidak mungkin.

Kita ambil $y = 2$.
Maka, $({\sqrt{2} + 1})^x = 2$.

Untuk mencari nilai $x$, kita bisa menggunakan logaritma:
$x \log(\sqrt{2} + 1) = \log 2$.
$x = \frac{\log 2}{\log(\sqrt{2} + 1)}$.

Namun, biasanya soal seperti ini memiliki solusi yang lebih sederhana. Mari kita periksa kembali jika ada kemungkinan $x$ adalah bilangan bulat.

Jika $x=1$, $({\sqrt{2} + 1})^1 - ({\sqrt{2} - 1})^1 = \sqrt{2} + 1 - (\sqrt{2} - 1) = \sqrt{2} + 1 - \sqrt{2} + 1 = 2$. Ini bukan 3/2.

Jika $x=2$, $({\sqrt{2} + 1})^2 - ({\sqrt{2} - 1})^2 = (2 + 1 + 2\sqrt{2}) - (2 + 1 - 2\sqrt{2}) = (3 + 2\sqrt{2}) - (3 - 2\sqrt{2}) = 3 + 2\sqrt{2} - 3 + 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$. Ini bukan 3/2.

Ada kemungkinan kesalahan dalam soal atau pilihan jawaban yang diberikan, karena biasanya soal eksponensial seperti ini mengarah ke solusi yang lebih mudah ditemukan.

Mari kita cek lagi persamaan kuadrat $2y^2 - 3y - 2 = 0$. Akar-akarnya adalah $y = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(2)(-2)}}{2(2)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{3 \pm 5}{4}$.
Maka, $y = \frac{3+5}{4} = \frac{8}{4} = 2$ atau $y = \frac{3-5}{4} = \frac{-2}{4} = -1/2$.

Jadi $y=2$ adalah solusi yang valid.
$({\sqrt{2} + 1})^x = 2$. Nilai $x$ memang $\frac{\log 2}{\log(\sqrt{2} + 1)}$.

Namun, jika soalnya adalah $({\sqrt{3+2\sqrt{2}}})^x + ({\sqrt{3-2\sqrt{2}}})^x = 3/2$, maka akan berbeda.

Mari kita asumsikan soalnya sudah benar dan $x = \frac{\log 2}{\log(\sqrt{2} + 1)}$. Ini adalah nilai $x$ yang memenuhi persamaan tersebut.