Tentukan dy/dx dalam parameter t untuk kurva berikut. a.

a. dy/dx = t^2 + 2t, b. dy/dx = (4t*sqrt(t) - 1) / (4 - 2*sqrt(t))

Pembahasan

Untuk mencari dy/dx dalam parameter t, kita menggunakan rumus dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt).

a. x = t/(1+t), y = t^2/(1+t)

Cari dx/dt:
Menggunakan aturan kuosien: d/dt [u/v] = (v(du/dt) - u(dv/dt)) / v^2
Misalkan u = t, v = 1+t
du/dt = 1, dv/dt = 1
dx/dt = ((1+t)(1) - t(1)) / (1+t)^2 = (1+t-t) / (1+t)^2 = 1 / (1+t)^2

Cari dy/dt:
Menggunakan aturan kuosien:
Misalkan u = t^2, v = 1+t
du/dt = 2t, dv/dt = 1
dy/dt = ((1+t)(2t) - t^2(1)) / (1+t)^2 = (2t + 2t^2 - t^2) / (1+t)^2 = (t^2 + 2t) / (1+t)^2

Hitung dy/dx:
dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = [(t^2 + 2t) / (1+t)^2] / [1 / (1+t)^2]
dy/dx = (t^2 + 2t) / (1+t)^2 * (1+t)^2 / 1
dy/dx = t^2 + 2t

b. x = 4*sqrt(t) - t, y = t^2 - sqrt(t)

Cari dx/dt:
dx/dt = d/dt (4t^(1/2) - t) = 4 * (1/2)t^(-1/2) - 1 = 2t^(-1/2) - 1 = 2/sqrt(t) - 1

Cari dy/dt:
dy/dt = d/dt (t^2 - t^(1/2)) = 2t - (1/2)t^(-1/2) = 2t - 1/(2*sqrt(t))

Hitung dy/dx:
dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = [2t - 1/(2*sqrt(t))] / [2/sqrt(t) - 1]
Untuk menyederhanakan, kita dapat mengalikan pembilang dan penyebut dengan 2*sqrt(t):
dy/dx = [ (2t - 1/(2*sqrt(t))) * 2*sqrt(t) ] / [ (2/sqrt(t) - 1) * 2*sqrt(t) ]
dy/dx = [ 4t*sqrt(t) - 1 ] / [ 4 - 2*sqrt(t) ]

Jawaban:
a. dy/dx = t^2 + 2t
b. dy/dx = (4t*sqrt(t) - 1) / (4 - 2*sqrt(t))