Tentukan dy/dx dengan menggunakan turunan implisit.

\(\frac{dy}{dx} = \frac{2y - x^2}{y^2 - 2x}\)

Pembahasan

Untuk menentukan dy/dx menggunakan turunan implisit dari persamaan \(x^3 + y^3 = 6xy\), kita akan menurunkan kedua sisi persamaan terhadap \(x\), dengan mengingat bahwa \(y\) adalah fungsi dari \(x\) (yaitu, \(y=y(x)\)).

Langkah 1: Turunkan kedua sisi persamaan terhadap \(x\).

Turunan dari \(x^3\) terhadap \(x\) adalah \(3x^2\).

Turunan dari \(y^3\) terhadap \(x\) menggunakan aturan rantai (chain rule) adalah \(3y^2 \cdot \frac{dy}{dx}\).

Untuk sisi kanan \(6xy\), kita gunakan aturan perkalian (product rule): \((uv)' = u'v + uv'\), di mana \(u=6x\) dan \(v=y\).

*   Turunan dari \(u=6x\) terhadap \(x\) adalah \(u' = 6\).
*   Turunan dari \(v=y\) terhadap \(x\) adalah \(v' = \frac{dy}{dx}\).

Maka, turunan dari \(6xy\) adalah \(6 \cdot y + 6x \cdot \frac{dy}{dx}\) = \(6y + 6x \frac{dy}{dx}\).

Sekarang, kita gabungkan semua turunan ke dalam persamaan:
\(3x^2 + 3y^2 \frac{dy}{dx} = 6y + 6x \frac{dy}{dx}\)

Langkah 2: Kelompokkan suku-suku yang mengandung \(\frac{dy}{dx}\) di satu sisi persamaan dan suku-suku lainnya di sisi lain.

Pindahkan \(6x \frac{dy}{dx}\) ke sisi kiri dan \(3x^2\) ke sisi kanan:
\(3y^2 \frac{dy}{dx} - 6x \frac{dy}{dx} = 6y - 3x^2\)

Langkah 3: Faktorkan \(\frac{dy}{dx}\) dari suku-suku di sisi kiri.

\(\frac{dy}{dx}(3y^2 - 6x) = 6y - 3x^2\)

Langkah 4: Selesaikan untuk \(\frac{dy}{dx}\) dengan membagi kedua sisi dengan \((3y^2 - 6x)\).

\(\frac{dy}{dx} = \frac{6y - 3x^2}{3y^2 - 6x}\)

Kita bisa menyederhanakan ekspresi ini dengan membagi pembilang dan penyebut dengan 3:

\(\frac{dy}{dx} = \frac{3(2y - x^2)}{3(y^2 - 2x)}\\) 

\(\frac{dy}{dx} = \frac{2y - x^2}{y^2 - 2x}\)

Jadi, turunan implisit \(\frac{dy}{dx}\) dari \(x^3 + y^3 = 6xy\) adalah \(\frac{2y - x^2}{y^2 - 2x}\).