Tentukan jumlah deret geometri tak hingga berikut. a.

Jumlah deret geometri tak hingga: a. 27, b. 343/11, c. 3 + 2√3

Pembahasan

Untuk menentukan jumlah deret geometri tak hingga, kita perlu mengidentifikasi rasio (r) dari setiap deret. Rumus jumlah deret geometri tak hingga adalah S = a / (1 - r), dengan syarat |r| < 1.

a. 18 + 6 + 2 + ...
Suku pertama (a) = 18.
Rasio (r) = 6 / 18 = 1/3.
Karena |1/3| < 1, deret ini konvergen.
Jumlahnya (S) = 18 / (1 - 1/3) = 18 / (2/3) = 18 * (3/2) = 27.

b. 49 - 28 + 16 - ...
Suku pertama (a) = 49.
Rasio (r) = -28 / 49 = -4/7.
Karena |-4/7| < 1, deret ini konvergen.
Jumlahnya (S) = 49 / (1 - (-4/7)) = 49 / (1 + 4/7) = 49 / (11/7) = 49 * (7/11) = 343 / 11.

c. sin 60 + sin^2 60 + sin^3 60 + ...
Suku pertama (a) = sin 60 = √3 / 2.
Rasio (r) = sin^2 60 / sin 60 = sin 60 = √3 / 2.
Karena |√3 / 2| ≈ |0.866| < 1, deret ini konvergen.
Jumlahnya (S) = (√3 / 2) / (1 - √3 / 2) = (√3 / 2) / ((2 - √3) / 2) = √3 / (2 - √3).
Untuk merasionalkan penyebut, kalikan dengan konjugatnya:
S = (√3 * (2 + √3)) / ((2 - √3) * (2 + √3))
S = (2√3 + 3) / (4 - 3)
S = 3 + 2√3.

Jadi, jumlah deretnya adalah:
a. 27
b. 343/11
c. 3 + 2√3