Tentukan f(x) jika: a. g(x)=x^2+2 x-3 dan (fog)(x)=x^2+2x+7

a. f(x) = x + 10; b. f(x) = 3x - 16

Pembahasan

Untuk menentukan f(x) jika diketahui g(x) dan (fog)(x), kita perlu memahami komposisi fungsi. Komposisi fungsi (fog)(x) berarti f(g(x)).

a. Diketahui g(x) = x^2 + 2x - 3 dan (fog)(x) = x^2 + 2x + 7.
Kita tahu bahwa (fog)(x) = f(g(x)). Jadi, kita substitusikan g(x) ke dalam f.
Misalkan y = g(x) = x^2 + 2x - 3.
Maka (fog)(x) = f(y) = x^2 + 2x + 7.
Perhatikan bahwa x^2 + 2x dalam (fog)(x) mirip dengan bagian dari g(x).
Kita bisa menulis ulang (fog)(x) dengan mengaitkannya dengan g(x).
(fog)(x) = (x^2 + 2x - 3) + 3 + 7
(fog)(x) = g(x) + 10
Karena (fog)(x) = f(g(x)), maka f(g(x)) = g(x) + 10.
Jika kita misalkan g(x) sebagai variabel baru, misalnya z, maka f(z) = z + 10.
Jadi, f(x) = x + 10.

Untuk verifikasi: f(g(x)) = f(x^2 + 2x - 3) = (x^2 + 2x - 3) + 10 = x^2 + 2x + 7. Ini sesuai dengan yang diberikan.

b. Diketahui g(x) = x^2 - 3x + 5 dan (fog)(x) = 3x^2 - 9x - 1.
Kita tahu bahwa (fog)(x) = f(g(x)). Jadi, kita substitusikan g(x) ke dalam f.
Misalkan y = g(x) = x^2 - 3x + 5.
Maka (fog)(x) = f(y) = 3x^2 - 9x - 1.
Perhatikan bahwa 3x^2 - 9x adalah 3 kali dari (x^2 - 3x). 
Kita bisa menulis ulang (fog)(x) dengan mengaitkannya dengan g(x).
(fog)(x) = 3(x^2 - 3x) - 1.
Kita perlu memasukkan g(x) = x^2 - 3x + 5 ke dalam ekspresi ini.
Dari g(x) = x^2 - 3x + 5, kita dapatkan x^2 - 3x = g(x) - 5.
Substitusikan ini ke dalam (fog)(x):
(fog)(x) = 3(g(x) - 5) - 1
(fog)(x) = 3g(x) - 15 - 1
(fog)(x) = 3g(x) - 16.
Karena (fog)(x) = f(g(x)), maka f(g(x)) = 3g(x) - 16.
Jika kita misalkan g(x) sebagai variabel baru, misalnya z, maka f(z) = 3z - 16.
Jadi, f(x) = 3x - 16.

Untuk verifikasi: f(g(x)) = f(x^2 - 3x + 5) = 3(x^2 - 3x + 5) - 16 = 3x^2 - 9x + 15 - 16 = 3x^2 - 9x - 1. Ini sesuai dengan yang diberikan.