Tentukan fungsi invers untuk fungsi-fungsi berikut.a.

a. (3 + sqrt(25 + 4x))/2 (dengan pembatasan domain), b. ± sqrt(1 - (x - 2)^3) (tergantung pembatasan domain)

Pembahasan

a. Untuk f(x) = x^2 - 3x - 4:
Misalkan y = x^2 - 3x - 4
Untuk mencari invers, kita perlu menyelesaikan persamaan kuadrat ini untuk x.
Namun, fungsi kuadrat tidak memiliki invers tunggal kecuali domainnya dibatasi. Jika kita mengasumsikan domainnya adalah semua bilangan real, maka inversnya tidak terdefinisi.
Jika kita membatasi domain, misalnya x >= 3/2 (titik puncak parabola), kita bisa menggunakan rumus kuadrat:
x = [-b ± sqrt(b^2 - 4a(c - y))] / 2a
x = [3 ± sqrt((-3)^2 - 4(1)(-4 - y))] / 2(1)
x = [3 ± sqrt(9 + 16 + 4y)] / 2
x = [3 ± sqrt(25 + 4y)] / 2
Karena pembatasan domain x >= 3/2, kita ambil tanda positif:
f^(-1)(x) = (3 + sqrt(25 + 4x))/2

b. Untuk f(x) = (1 - x^2)^1/3 + 2:
Misalkan y = (1 - x^2)^1/3 + 2
y - 2 = (1 - x^2)^1/3
(y - 2)^3 = 1 - x^2
x^2 = 1 - (y - 2)^3
x = ± sqrt(1 - (y - 2)^3)
Karena fungsi kuadrat memiliki pembatasan domain agar memiliki invers, kita tidak dapat memberikan satu jawaban tunggal tanpa informasi tambahan mengenai domain asli fungsi f(x). Jika domainnya adalah x >= 0, maka f^(-1)(x) = sqrt(1 - (x - 2)^3). Jika domainnya adalah x <= 0, maka f^(-1)(x) = -sqrt(1 - (x - 2)^3).