Tentukan hasil bagi dan sisa pembagian berikut dengan dua

Hasil bagi: x^2 - 3x + 2, Sisa: 0

Pembahasan

Kita akan melakukan pembagian polinomial x^4 - 2x^3 - x + 2 oleh x^2 + x + 1 menggunakan dua cara:

**Cara 1: Pembagian Bersusun Panjang (Porogapit)**

```
        x^2  - 3x   + 2      
      _________________
x^2+x+1 | x^4 - 2x^3 + 0x^2 - x  + 2
        -(x^4 + x^3 + x^2)     
        _________________
              -3x^3 - x^2 - x
            -(-3x^3 - 3x^2 - 3x)
            _________________
                    2x^2 + 2x + 2
                  -(2x^2 + 2x + 2)
                  _____________
                          0 
```

Dari pembagian bersusun, kita mendapatkan hasil bagi adalah **x^2 - 3x + 2** dan sisa pembagian adalah **0**.

**Cara 2: Menggunakan Teorema Sisa dan Pembagian Horner (jika pembagi berderajat 1, namun kita bisa adaptasi dengan mencari akar dari pembagi jika memungkinkan, atau menggunakan substitusi yang sesuai)**

Karena pembaginya adalah polinomial berderajat 2 (x^2 + x + 1), pembagian Horner standar tidak bisa langsung diterapkan. Namun, kita bisa menggunakan pendekatan aljabar atau memanipulasi ekspresi.

Kita bisa menulis:
x^4 - 2x^3 - x + 2 = Q(x) * (x^2 + x + 1) + S(x)
di mana Q(x) adalah hasil bagi dan S(x) adalah sisa (berderajat maksimal 1).

Mari kita coba faktorkan atau manipulasi:
Perhatikan bahwa jika x^2 + x + 1 = 0, maka x^2 = -x - 1.
Kita bisa substitusikan ini ke dalam polinomial yang dibagi.

x^4 = (x^2)^2 = (-x - 1)^2 = x^2 + 2x + 1

Substitusikan kembali x^2 = -x - 1:
x^4 = (-x - 1) + 2x + 1 = x

Sekarang substitusikan ke polinomial awal:
(x) - 2x^3 - x + 2

Kita perlu menghitung -2x^3. x^3 = x * x^2 = x * (-x - 1) = -x^2 - x.
Substitusikan x^2 = -x - 1:
x^3 = -(-x - 1) - x = x + 1 - x = 1.

Jadi, -2x^3 = -2 * 1 = -2.

Kembali ke polinomial awal:
x^4 - 2x^3 - x + 2 = (x) + (-2) - x + 2 = x - 2 - x + 2 = 0.

Karena hasil substitusi adalah 0, ini menunjukkan bahwa sisa pembagiannya adalah 0. Ini juga mengindikasikan bahwa (x^2 + x + 1) adalah faktor dari polinomial tersebut.

Untuk mencari hasil bagi, kita bisa membandingkan dengan hasil dari pembagian bersusun. Jika sisanya 0, maka:
x^4 - 2x^3 - x + 2 = Q(x) * (x^2 + x + 1)

Kita sudah menemukan hasil baginya dari cara pertama adalah x^2 - 3x + 2.
Mari kita verifikasi:
(x^2 - 3x + 2) * (x^2 + x + 1)
= x^2(x^2 + x + 1) - 3x(x^2 + x + 1) + 2(x^2 + x + 1)
= (x^4 + x^3 + x^2) - (3x^3 + 3x^2 + 3x) + (2x^2 + 2x + 2)
= x^4 + x^3 + x^2 - 3x^3 - 3x^2 - 3x + 2x^2 + 2x + 2
= x^4 + (1-3)x^3 + (1-3+2)x^2 + (-3+2)x + 2
= x^4 - 2x^3 + 0x^2 - x + 2
= x^4 - 2x^3 - x + 2

Hasilnya sesuai dengan polinomial awal.

Kesimpulan:
Hasil bagi adalah **x^2 - 3x + 2** dan sisa pembagian adalah **0**.