Kelas 12Kelas 11mathKalkulus
Tentukan hasil dari integral (a+b+c)/(x^2-9) dx
Pertanyaan
Tentukan hasil dari integral (a+b+c)/(x^2-9) dx
Solusi
Verified
Hasil integralnya adalah (a+b+c)/6 * ln|(x-3)/(x+3)| + C.
Pembahasan
Integral yang diberikan adalah: ∫ (a+b+c)/(x^2-9) dx Untuk menyelesaikan integral ini, kita perlu memisahkan konstanta (a+b+c) dari variabel x. Diasumsikan a, b, dan c adalah konstanta. Integral = (a+b+c) ∫ 1/(x^2-9) dx Bagian penyebut, x^2-9, dapat difaktorkan menggunakan selisih dua kuadrat: x^2 - 3^2 = (x-3)(x+3). Jadi, integralnya menjadi: (a+b+c) ∫ 1/((x-3)(x+3)) dx Kita dapat menggunakan metode dekomposisi pecahan parsial untuk menyelesaikan integral ∫ 1/((x-3)(x+3)) dx. Misalkan: 1/((x-3)(x+3)) = A/(x-3) + B/(x+3) Kalikan kedua sisi dengan (x-3)(x+3): 1 = A(x+3) + B(x-3) Untuk mencari nilai A, substitusikan x = 3: 1 = A(3+3) + B(3-3) 1 = A(6) + B(0) 1 = 6A A = 1/6 Untuk mencari nilai B, substitusikan x = -3: 1 = A(-3+3) + B(-3-3) 1 = A(0) + B(-6) 1 = -6B B = -1/6 Jadi, dekomposisi pecahannya adalah: 1/((x-3)(x+3)) = (1/6)/(x-3) - (1/6)/(x+3) Sekarang, kita integralkan: ∫ 1/((x-3)(x+3)) dx = ∫ [(1/6)/(x-3) - (1/6)/(x+3)] dx = (1/6) ∫ 1/(x-3) dx - (1/6) ∫ 1/(x+3) dx = (1/6) ln|x-3| - (1/6) ln|x+3| + C = (1/6) [ln|x-3| - ln|x+3|] + C = (1/6) ln|(x-3)/(x+3)| + C Kembali ke integral awal: Integral = (a+b+c) * [(1/6) ln|(x-3)/(x+3)| + C] Integral = (a+b+c)/6 * ln|(x-3)/(x+3)| + C' Jadi, hasil dari integral (a+b+c)/(x^2-9) dx adalah (a+b+c)/6 * ln|(x-3)/(x+3)| + C.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Integral Tak Tentu
Section: Integral Fungsi Rasional
Apakah jawaban ini membantu?