Tentukan hasil dari integral (a+b+c)/(x^2-9) dx

Hasil integralnya adalah (a+b+c)/6 * ln|(x-3)/(x+3)| + C.

Pembahasan

Integral yang diberikan adalah:
∫ (a+b+c)/(x^2-9) dx

Untuk menyelesaikan integral ini, kita perlu memisahkan konstanta (a+b+c) dari variabel x. Diasumsikan a, b, dan c adalah konstanta.

Integral = (a+b+c) ∫ 1/(x^2-9) dx

Bagian penyebut, x^2-9, dapat difaktorkan menggunakan selisih dua kuadrat: x^2 - 3^2 = (x-3)(x+3).
Jadi, integralnya menjadi:
(a+b+c) ∫ 1/((x-3)(x+3)) dx

Kita dapat menggunakan metode dekomposisi pecahan parsial untuk menyelesaikan integral ∫ 1/((x-3)(x+3)) dx.
Misalkan:
1/((x-3)(x+3)) = A/(x-3) + B/(x+3)

Kalikan kedua sisi dengan (x-3)(x+3):
1 = A(x+3) + B(x-3)

Untuk mencari nilai A, substitusikan x = 3:
1 = A(3+3) + B(3-3)
1 = A(6) + B(0)
1 = 6A
A = 1/6

Untuk mencari nilai B, substitusikan x = -3:
1 = A(-3+3) + B(-3-3)
1 = A(0) + B(-6)
1 = -6B
B = -1/6

Jadi, dekomposisi pecahannya adalah:
1/((x-3)(x+3)) = (1/6)/(x-3) - (1/6)/(x+3)

Sekarang, kita integralkan:
∫ 1/((x-3)(x+3)) dx = ∫ [(1/6)/(x-3) - (1/6)/(x+3)] dx
= (1/6) ∫ 1/(x-3) dx - (1/6) ∫ 1/(x+3) dx
= (1/6) ln|x-3| - (1/6) ln|x+3| + C
= (1/6) [ln|x-3| - ln|x+3|] + C
= (1/6) ln|(x-3)/(x+3)| + C

Kembali ke integral awal:
Integral = (a+b+c) * [(1/6) ln|(x-3)/(x+3)| + C]
Integral = (a+b+c)/6 * ln|(x-3)/(x+3)| + C'

Jadi, hasil dari integral (a+b+c)/(x^2-9) dx adalah (a+b+c)/6 * ln|(x-3)/(x+3)| + C.