Tentukan hasil dari: integral x akar(3x+1) dx

Hasil integral adalah (2/135)(3x+1)^(3/2)(9x-2) + C.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral tak tentu dari x√(3x+1) dx, kita dapat menggunakan metode substitusi.

Misalkan u = 3x + 1.
Maka, du/dx = 3, atau dx = du/3.
Juga, dari u = 3x + 1, kita dapat mengekspresikan x dalam hal u: u - 1 = 3x, jadi x = (u - 1) / 3.

Sekarang kita substitusikan ke dalam integral:
∫ x√(3x+1) dx = ∫ [(u - 1) / 3] * √u * (du / 3)
= ∫ (u - 1) * √u * du / 9
= (1/9) ∫ (u^(1/2) * u - u^(1/2)) du
= (1/9) ∫ (u^(3/2) - u^(1/2)) du

Sekarang kita integralkan terhadap u:
= (1/9) * [ (u^(3/2 + 1)) / (3/2 + 1) - (u^(1/2 + 1)) / (1/2 + 1) ] + C
= (1/9) * [ (u^(5/2)) / (5/2) - (u^(3/2)) / (3/2) ] + C
= (1/9) * [ (2/5)u^(5/2) - (2/3)u^(3/2) ] + C

Sekarang kita substitusikan kembali u = 3x + 1:
= (1/9) * [ (2/5)(3x + 1)^(5/2) - (2/3)(3x + 1)^(3/2) ] + C

Kita bisa mengeluarkan faktor (3x + 1)^(3/2) untuk menyederhanakan:
= (1/9) * (3x + 1)^(3/2) * [ (2/5)(3x + 1) - (2/3) ] + C
= (1/9) * (3x + 1)^(3/2) * [ (6(3x + 1) - 10) / 15 ] + C
= (1/9) * (3x + 1)^(3/2) * [ (18x + 6 - 10) / 15 ] + C
= (1/9) * (3x + 1)^(3/2) * [ (18x - 4) / 15 ] + C
= (1 / (9 * 15)) * (3x + 1)^(3/2) * (18x - 4) + C
= (1 / 135) * (3x + 1)^(3/2) * (18x - 4) + C

Kita bisa mengeluarkan 2 dari (18x - 4):
= (2 / 135) * (3x + 1)^(3/2) * (9x - 2) + C

Jadi, hasil dari integral x√(3x+1) dx adalah (2/135)(3x+1)^(3/2)(9x-2) + C.